Modelo matematico de un sistema mecanico

Considere el sistema mecánico que aparece en la figura. Suponemos que el sistema es lineal.

La fuerza externa u(t) es la entrada para el sistema, y el desplazamiento y(t) de la masa es la salida.El desplazamiento y(t) se mide a partir de la posición de equilibrio en ausencia de una fuerza externa. Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida.
A partir del diagrama, la ecuación delsistema es
My’’ + bj’ + ky = u
Este sistema es de segundo orden, lo cual significa que el sistema contiene ‘dos integradores. Definamos
las variables de estado xi(t) y xz(t) como
X1 (t) = Y (t)X2(t) = y(t)
A continuación obtenemos
X1= x2
X2= 1\m(-ky –by’)+1\m u
o bien
x2= -k\m x1 – b\m x2 +1\m u
La ecuación de salida es
Y = Xl

La ecuación de salida, representada por la ecuación, seescribe como
Y = [1 0] [x1 x2]
La ecuación es una ecuación de estado y la ecuación es una ecuación de salida para el sistema. Las ecuaciones están en la forma estándar:
x=Ax+Bu
y = cx + DuCorrelación entre funciones de transferencia y ecuaciones en el espacio de estados.
Cómo obtener la función de transferencia de un sistema con una sola entrada y una sola salida a partir de lasecuaciones en el espacio de estados.
Consideremos el sistema cuya función de transferencia se obtiene mediante
-Y(s) = G(s)
U(s)
Este sistema se representa en el espacio de estados mediante lasecuaciones siguientes:
X = Ax + Bu
y = cx + Du
En donde x es el vector de estado, u es la entrada, y y es la salida. La transformada de
Laplace de las ecuaciones se obtienen mediante
sX(s) - x(O) =AX(s) + BU(s)
Y(s) = CX(s) + DU(s)

Dado que la función de transferencia se definió antes como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada,cuando las condiciones iniciales son cero, suponemos que x(O) en la ecuación es cero. Por tanto, tenemos que
sX(s) - AX(s) = BU(s)
o bien
(SI - A)X(s) = BU(s)
Premultiplicando por (SI - A)-1 en...