Modelo matematico

Modelos matemáticos

MODELOS MATEMÁTICOS
Autores: Juan Alberto Rodríguez Velázquez (jrodriguezvel@uoc.edu), Cristina Steegmann
Pascual (csteegmann@uoc.edu).

ESQUEMA DE CONTENIDOS

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Definición

Propiedades

MODELOS MATEMÁTICOS

Modelo meteorológico

Modelo de petróleo refinado

Modelo de Leontief

INTRODUCCIÓN

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Un modelomatemático es una descripción, en lenguaje matemático, de un objeto que existe en un universo no-matemático. Estamos familiarizados con las previsiones del tiempo, las cuales se basan en un modelo matemático meteorológico; así como con los pronósticos económicos, basados éstos en un modelo matemático referente a economía. La mayoría de las aplicaciones de cálculo (por ejemplo, problemas de máximos ymínimos) implican modelos matemáticos. En términos generales, en todo modelo matemático se puede determinar 3 fases: • • • Construcción del modelo. Transformación del objeto no-matemático en lenguaje matemático. Análisis del modelo. Estudio del modelo matemático. Interpretación del análisis matemático. Aplicación de los resultados del estudio matemático al objeto inicial no-matemático.

El éxito ofracaso de estos modelos es un reflejo de la precisión con que dicho modelo matemático representa al objeto inicial y no de la exactitud con que las matemáticas analizan el modelo.

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Modelos matemáticos
Algunos modelos son buenos para algunas cosas y malos para otras. Por ejemplo, el modelomatemático de la mecánica newtoniana puede, hoy en día, usarse para predecir muchos sucesos con precisión a pesar de que la teoría de la relatividad de Einstein (otro modelo matemático) nos dice que éste es inexacto. El álgebra lineal nos proporciona muchas herramientas para utilizarlas al analizar los modelos matemáticos (ya sean económicos, demográficos, probabilísticos, de ingeniería...). Acontinuación se presentan tres modelos matemáticos así como la ayuda que nos proporciona el software Mathcad para estudiarlos, analizarlos y solucionarlos. Éstos son: • • • Modelo meteorológico. Modelo de petróleo refinado. Modelo de Leontief.

OBJETIVOS
• • • • Conocer los fundamentos matemáticos de los modelos matemáticos. Aprender a analizar y solucionar los modelos matemáticos con la ayuda delsoftware mathcad. Profundizar en las funciones GIVEN, FIND, LSOLVE, RREF de mathcad. Aprender el método iterativo de resolución de sistemas de ecuaciones lineales usando mathcad.

CONOCIMIENTOS PREVIOS
Es recomendable haber leído, previamente, los math-blocks relativos a: • • • • • Álgebra de matrices. Determinantes. Matriz inversa. Discusión de SEL. Resolución de SEL. Así como los introductorios aMathcad.

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CONCEPTOS FUNDAMENTALES Y RESOLUCIÓN PRÁCTICA CON MATHCAD
Modelo meteorológico
Supongamos que en una determinada ciudad tenemos tres estados climáticos posibles: soleado, nublado, y lluvioso. Supongamos, además, que si hoy está el día nublado, entonces la probabilidad de que mañana el día esté soleado es de 1/2, la probabilidad de que esté nublado es 1/4, y la probabilidad deque esté

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lluvioso es de 1/4. Estos números se conocen como las probabilidades de transición de hoy a mañana suponiendo que hoy hemos tenido un día nublado. De forma similar, es posible considerar otras probabilidades de transición en los casos en que el día de hoy haya estadolluvioso o soleado. Podemos, pues, expresar dichas probabilidades en forma matricial: MAÑANA soleado nublado lluvioso HOY soleado nublado lluvioso 3/4 1/2 1/4 1/8 1/4 1/2 1/8 1/4 1/4
1 2 1 1 4 1

A=

i.e.:

   A :=     

3 4 1



  8 4 2   1 1 1 8 4 4 

Si conociésemos la probabilidad de que hoy se dé cada uno de los tres estados climáticos, sería posible usar los...