Modelo Ramsey

El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

Esta nota resuelve el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans mediante la formulación de un problema de control óptimo que se resuelve de la manera más sencilla posible.El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans puede expresarse como:

max

en donde U(0) es una funcional . n representa la tasa de crecimiento de la población donde se supone L(0) = 1 y -( - n) es loque se conoce como tasa de descuento efectiva. En esta tasa  representa la tasa de descuento que indica la cantidad de bienes que tienen que consumirse en el futuro para renunciar a una unidad deconsumo hoy.

Esta funcional tiene que maximizarse condicionada a la siguiente restricción dinámica:

(2)

y .

En este modelo k representa lo que se llama una variable de estado y c unavariable de control. Una variable de estado es una variable que cuando se conoce su valor describe totalmente el comportamiento del sistema, mientras que una variable de control es un input que influyesobre el valor de la variable de estado. La ecuación (2) o restricción dinámica debe incluir forzosamente una relación entre la variable de estado y la variable de control. El objeto de un problemade control óptimo es como debe regularse el valor de la variable de control para que el sistema dé una respuesta óptima.

Si quisiéramos resolver el problema planteado por (1)-(2) por el método deLagrange, nos encontraríamos con un sistema con infinitas ecuaciones e incógnitas que deberían resolverse simultáneamente. Por ello, este tipo de problemas exigen una técnica específica de resolución.La técnica que se utilizará es la del principio del máximo de Pontyagrin, y que resuleva el problema de la siguiente manera:

Formamos una función hamiltoniana definida como:

(3)en donde  es una variable de coestado que representa el precio del capital en cada momento del tiempo en términos de la pérdida de utilidad marginal que se está dispuesto a perder en el momento t...