Modelo Respuesta Matematica Ii (179) Una

Primera Parcial

Lapso 2010-1

178-179 – 1/1

Universidad Nacional Abierta Vicerrectorado Acad´mico e ´ Area de Matem´tica a

Matem´tica II (178-179) a C´d. Carrera: 106 o Fecha: 27-03-2010

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1,2,3,4 y 5. OBJ. 1 PTA 1 Sea f la funci´n definida por o   −3 si x ≤ −1 1 si −1 < x ≤ 2 f (x) =  4 si 2 < x

a. Haz una representaci´n gr´fica de f . o a

b.Calcular el l´ ımite de f cuando x se acerca a 0 por la izquierda y por la derecha. c.Calcular el l´ ımite de f cuando x se acerca a −1 por la izquierda y por la derecha. d. Calcular el l´ ımite de f cuando x se acerca 2 por la izquierda y por la derecha. Soluci´n : o a. La funci´n f est´ dado por el siguiente gr´fico o a a

b. Cuando x = 0 se acerca a 1 por la derecha y por la izquierda. c. Cuandonos acercamos a −1 los valores que alcanza la funci´n se acerca a los valores 1 por la o derecha y −3 por la izquierda. d. x = 2 se acerca a los valores 1por la izquierda y 4 por la derecha. OBJ. 2 PTA 2 Determinar 2tan2 (x) x→0 x2 l´ ım

si es que existe. ım ım Soluci´n : Dado que el l´ x→0 2tan2 (x) = 0 y l´ x→0 x2 = 0 o As´ obtenemos una indeterminaci´n de la forma 0/0. debemos romper laindeterminaci´n ı o o 2tan2 (x) 2sen2 (x) l´ x→0 x2 ım = l´ x→0 x2 cos2 (x) ım = l´ x→0 ım
2sen(x) . l´ x→0 sen(x) ım x x

l´ x→0 ım

1 cos2 (x)

= 2(1)(1) = 2

´ Area de Matem´tica a

Elaborado por: Janeth Marchan

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OBJ. 3 PTA 3 Consideremos la funci´n f : [ π , 5π ] → R definida por: o 3 3 f (x) =

x − sen(x) 2

Demuestre que existeun elemento c en el intervalo (1, 5) tal que f (c) = 0 Soluci´n : o i.) f es continua en [ π , 5π ]. 3 3 ii.) Como f ( π ) = −0, 346 < 0 y f ( 5π ) = 3, 486 > 0. 3 3 Luego por el teorema de Bolzano existe un c ∈ (1, 5) tal que f (c) = 0 es decir OBJ. 4 PTA 4
3 Dada f (x) = 4x3 − 9x verificar si cumple las hipotesis del teorema de Rolle en el intervalo [ −3 , 2 ] 2

c 2

− sen(c) = 0Soluci´n : o i.) Dado que f es una funci´n continua por ser un polinomio m´s a´n en el intervalo cerrado o a u [ −3 , 3 ]. 2 2
3 ii.) f es diferenciable en el intervalo abierto ( −3 , 2 ) 2 ′ (x) = 12x2 − 9 en efecto f 3 iii.) f (a) = f ( −3 ) = 0 y f (b) = f ( 2 ) = 0 2 entonces existe un n´mero c en el intervalo ( −3 , 3 ) = 0 tal que u 2 2 9 f ′ (c) = 0 → 12c2 − 9 = 0 → c2 = 12

→ c2 =

3 4→c=±
√ 3 4

por lo tanto OBJ 5 PTA 5

∈

3 4 −3 3 ( 2 , 2 ),

−

√

3 4

3 ∈ ( −3 , 2 ) 2

Realizar el estudio completo de la siguiente funci´n f (x) = o Soluci´n : o i.) Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ (1, +∞) y = 0 ↔ x2 − 2

√x x2 −1

2

−2

ii.) Puntos de corte con el Ejes x hacemos y = 0 x2 − 1 = 0

↔ x2 = 2 x2 − 1 ↔ x4 = 4(x2 − 1)

√ √ por lo tanto P1 = (− 2, 0), P2 = ( 2, 0)Punto de corte con el eje y hacemos x = 0 como x = 0 ∈ Dom(f ) por lo tanto no tiene puntos de / corte con el eje y

↔ x4 − 4x2 + 4 = 0 √ ↔ x = ± 2 ∈ Dom(f )

´ Area de Matem´tica a

Elaborado por: Janeth Marchan

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iii.) Simetr´ con el eje x ıa x2 cambiamos y por −y y obtenemos que y = √x2 −1 − 2 = −y = por lo tanto no es sim´trica conrespecto al eje x e iv.) Simetr´ con el eje y ıa 2 cambiamos x por −x y obtenemos que y = √ (−x)2 por lo tanto es sim´trica con respecto al eje y e vi.) Asintotas Horizontales: x2 ya que y = limx→±∞ √x2 −1 − 2 = ∞ por lo tanto no tiene asintotas horizontales. vii.) Asintotas Verticales: x2 y = limx→−1− √x2 −1 − 2 = ∞
2

√x x2 −1

2

−2

(−x) −1

−2≡y =

√x x2 −1

2

−2

x y =limx→1+ √x2 −1 − 2 = ∞ por lo tanto las asintotas verticales son x = −1 y x = 1 2 x

viii.) Asintota Oblicuas a la derecha m1 = limx→∞ f (x) = limx→∞ √xx−1 − 2 x

=1

− 2 − x = −2 b1 = limx→∞ f (x) − x = por lo tanto la asintota oblicua por la derecha es la recta y = x − 2 Asintotas Oblicuas a la izquierda m2 = limx→−∞ f (x) = −1 x b1 = limx→−∞ f (x) − x = −2 por lo tanto la asintota oblicua...