Modelo riel esfera

UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA

ESCUELA DE ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES

ECUACIONES DIFERENCIALES Y MÉTODOS NUMERICOS

TRABAJO FINAL:
MODELADO DEL SISTEMA ESFERA Y RIEL CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

DOCENTE:
ING.TUESMAN CASTILLO

INTEGRANTES:
ROGER A. SARANGO CH.
ANTONIO M. JARAMILLO V.
BETTY X. PALACIOS J.

PERIODO ACADEMICO:
SEPTIEMBRE 2012 –FEBRERO 2013

1

1. TITULO
Modelado de un sistema esfera y riel con ecuaciones diferenciales de orden superior.
2. INTRODUCCIÓN
La gran mayoría de los sistemas físicos que se manejan en control automático son de
naturaleza no lineales, sin embargo se puede realizar aproximaciones para linealizar dichos
sistemas. Un claro ejemplo de estos sistemas es el del riel y esfera, esto se puededesarrollar
mediante ecuaciones diferenciales de orden superior y luego linealizarlo el sistema,
haciendo que la variación del ángulo del riel sea igual a cero, se detalla en dos etapas:
- Modelo Matemático: Describe la conducta de un sistema utilizando varias técnicas matemáticas.
- Simulación en Labview: Evaluar si las propuestas para solucionar el problema planteado,
funcionan correctamente yrealizan las funciones deseadas.

Para resolver este sistema consideramos los siguientes pasos:
a.
b.
c.
d.
e.
f.

Definir el sistema y sus componentes.
Formular el modelo matemático y enumerar las suposiciones necesarias.
Escribir las ecuaciones diferenciales que describan el modelo.
Resolver las ecuaciones para las variables de salida deseadas.
Examinar las soluciones y lashipótesis.
Si es necesario, volver a analizar o diseñar el sistema.

3. OBJETIVOS
3.1.

PRINCIPAL
Desarrollar el Control del Sistema no lineal Riel y Esfera, utilizando ecuaciones
diferenciales como modelos matemáticos.

3.2.

SECUNDARIOS
 Desarrollar el modelo del sistema Riel y Bola, aplicando la ecuación de Lagrange.
 Mediante la herramienta de Labview, realizar una simulación quedemuestre el
funcionamiento del Sistema Riel y Esfera a partir de las Funciones de Transferencia
de los elementos principales que conforman dicho sistema.
 En Labview analizar el sistema de control de riel y esfera; y el motor de corriente
continua en lazo cerrado.
 Evaluar las respuestas transitorias de las funciones de transferencia de los bloques
de la planta y el actuador.

4. DESCRIPCIÓNDEL SISTEMA RIEL ESFERA
Es un sistema no lineal, cuyo control implementado en este tipo de sistema es un lazo doble
de realimentación, conocido como control en cascada. Emplea dos controladores uno
interno llamado esclavo o secundario y el otro externo llamado maestro o primario.

2

5. MODELO MATEMÁTICO DEL SISTEMA RIEL ESFERA
Para obtener las ecuaciones dinámicas del modelo matemáticodel Sistema formado por el
riel y esfera, primeramente se emplea el método de LaGrange y a partir de aquí,
representarlas en ecuaciones de estado para usarlas en una simulación.
La lagrangiana de un sistema es la diferencia entre las energías cinética y potencial, siendo
por tanto un escalar. Así, mientras que con el procedimiento de Newton se coloca el énfasis
sobre el agente exterior queactúa sobre el cuerpo (la fuerza), con el de Lagrange se manejan
magnitudes asociadas al cuerpo (energías cinética y potencial). Este hecho es especialmente
importante por diversos motivos. En primer lugar, hace que la lagrangiana de un sistema
sea invariante ante los cambios de coordenadas. Esto permite pasar del espacio ordinario
(en el que las ecuaciones de movimiento pueden ser muycomplicadas) a un espacio de
configuraciones elegido de tal forma que de una simplificación máxima.
5.1.

ECUACIÓN DE LAGRANGE
La formulación lagrangiana de la mecánica se desarrolla partiendo de dos principios:
Definición de la masa y los Desplazamientos Virtuales, de los cuales se obtiene la
siguiente ecuación:
(
x = posición de la bola.

)
F = fuerza de disipación de Rayleigh

x’ =...