Modelos De Aplicacion

Semana 5 - Clase 15

12/11/10

Tema 2: E. D. O. de orden 1

Algunas aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Modelar o describir matem´ticamente un fen´meno es el fin ultimo de la ciencias. Las matem´ticas a o ´ a son el lenguaje de la f´ ısica. ¿C´mo describir el chisporroteo de una llama? ¿la textura de una o pintura al oleo? ¿el tr´fico en carreteras durante horas picos?¿el titilar de las estrellas? Describir a matem´ticamente estas situaciones no es f´cil. Son fen´menos complejos y su descripci´n puede a a o o tener muchos grados de profundidad. Comencemos a estudiar modelos simples, como la ley de Malthus1 .

1.

Ley de Malthus/Decaimiento Radioactivo

Malthus postul´ esta famosa ecuaci´n: o o dy(x) = k y(x) dx (1)

con k > 0 o k < 0 y y(0) = y0 , Esf´cil a verificar que la soluci´n viene dada por: o y(t) = y0 ek t . (2)

Para k < 0 tenemos una situaci´n de deo caimiento: la poblaci´n decrece con el tiemo po. Este concepto se utiliza en los procesos de decaimiento radiactivo. El tiempo de vida media se define como el tiempo necesario para que la mitad de los n´cleos decaigan, u lo cual es independiente de la cantidad de la muestra y permite medirla edad de todo aquello que contenga is´topos radioactivos. o

Figura 1: Decaimiento Radioactivo

Por ejemplo, para el caso particular del C14 , del cual se sabe que tiene una vida media de 5730 a˜os, es el componente fundamental de todos los organismos, de manera que los seres vivos est´n n a (o estuvieron) formados por carbono. Por lo tanto, si sabemos el porcentaje de C14 en una muestra,digamos el 63 % podremos inferir su edad. Veamos y(0) = 1
1

⇒

y(5730) = ek 5730 =

1 . 2

En honor al economista pol´ ıtico ingl´s Thomas Robert Malthus (1766-1834). Quien fue uno de los primeros en e darse cuenta que la poblaci´n crece como una raz´n geom´trica mientras que los medios de subsistencias crecen de o o e manera aritm´tica. Esta afirmaci´n plasmada en su Ensayo sobre elPrincipio de Poblaciones, el cual inspir´ a Darwin e o o en la formulaci´n de principio de selecci´n natural. Malthus, muy religioso y creyente pensaba que esa diferencia en o o el crecimiento de la poblaci´n y las necesidades que ellas generaban, er´n de procedencia divina y que forzar´ a o a ıa la humanidad a ser m´s laboriosa e ingeniosa para lograr los medios de subsistencia. Darwin, no tanreligioso, lo a formul´ como una situaci´n natural presente en todas las especies. o o

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜

1

Universidad de Los Andes, M´rida e

Semana 5 - Clase 15 Por lo tanto, despejando k k=− ln 2 5730 ⇒ y(t) = 2−t/5730 ,

12/11/10

Tema 2: E. D. O. de orden 1

de aqu´ obtendremos la edad en a˜os de la ı n muestra 0,63 ⇒ t = − ln 0,63 5730 ≈ 3819,48 ln 2

En laFigura 1 se puede apreciar la soluci´n o de la ecuaci´n (1) y el valor aproximado de o la edad de la muestra. Para k > 0 la ecuaci´n (1) describe el increo mento poblacional. El valor de k se calcula experimentalmente (promediando sus valores para cada uno de los par´metros), como a se puede ver en el siguiente ejemplo.

A˜o n 1800 1847 1873 1881 1891 1926 1936 1941 1950 1961 1971 1981

(0) (47)(73) (81) (91) (126) (136) (141) (150) (161) (171) (181)

Poblaci´n o 0.350 0.750 1.000 1.750 2.100 2.850 3.200 3.850 4.350 6.800 10.800 14.100

y = 0,35 e0,018t 0.350 0.816 1.302 1.504 1.801 3.381 4.048 4.429 5.208 6.348 7.600 9.099

Tabla 1: Poblaci´n venezolana (Millones Hab.) o

2.

La Ecuaci´n log´ o ıstica o Ley de Verhulst

Esta ecuaci´n se utiliza para describir el crecimientode la poblaci´n de una manera m´s precisa o o a que la Ley de Malthus. Esta ecuaci´n toma en cuenta le decrecimiento de la poblaci´n con el o o t´rmino −y 2 : e y = (k − ay) y = ky − ay 2 (3) donde k y a son constantes arbitrarias. La ecuaci´n (3) es separable y la soluci´n tiene la siguiente o o forma: y ln =k t+C k − ay y por lo tanto y(t) = Notese que para k > 0, resulta que l´ ım k y0 k =...