Modelos de parciales Analisis Matematico II

Ejemplos de parcial de Análisis Matemático II
Los ítems E1, E2, E3 y E4 corresponden a la parte práctica.
Los ítems T1 y T2 son teóricos (sólo para promoción).

Ejemplo de 1° Parcial
T1) Sea F : IR2 →IR diferenciable tal que F (0,0) = 0 ∧ ∇ F ( 0,0) = (1 , 2 ) y sea G : IR2 → IR2 / G ( x , y ) = ( F ( x , y ) , F ( x , y )) .
Se define H = F o G . Halle el plano tangente al gráfico de H enel origen.
(
2
1
2
R
T2) Sean f y g definidos de IR en I dos campos escalares C , A un punto de su dominio y r un versor de IR . Se
(
(
(
2
define h : IR →IR / h( x , y ) = f ( x , y ) g ( x , y ) . Demuestre que: h ′( A, r ) = f ′( A, r ) g ( A) + f ( A) g ′( A, r ) .
 3 ( x − 1) y 2

E1) Dada F : IR →IR / F ( x , y ) =  2 ( x − 1) 2 + 3 y 2 si ( x , y ) ≠ (1,0) .

0
si ( x ,y ) = (1,0)


a) Analice la continuidad en (1,0).
b) Analice la existencia de derivadas direccionales en (1,0).
c) Estudie la diferenciabilidad en (1,0).
E2) Sea F : A ⊆IR3 →IR / F ∈C1 ∧ F(5,3,2) = 6 . Se sabe que P0 = (5,3,2) es un punto regular de la superficie de nivel 6 de
F , y que la recta X = (5, 3, 2) + t (1, − 1, 2) es normal a dicha superficie en P0 .
2

a) Analice si laecuación F ( x , y , z ) = 6 define z = ϕ( x , y ) en un entorno de (5,3,2). Si la respuesta es afirmativa,
51 27
calcule en forma aproximada ϕ( 10 , 10 ) .
x = z + y
b) Determine si la curva definida por: 
corta perpendicularmente a la superficie de nivel 6 de F en (5,3,2).
3
x = z − y
2 ∂h
1 ∂h
E3) Sea h( x , y ) = y 2 f ( x ) + 6 . Halle f : IR→IR tal que:
+
= x − 3 ∀ y ≠ 0 si h(1,1) = 2 .
2 ∂ x
y ∂y
y
E4) Dadas f : U ⊂ IR2 →IR / f ( u, v ) = u cos(v ) + e −π / u ∧ g : D ⊂ IR2 →IR2 / g ( x , y ) = ( x 2 + y , x 2 y ) , halle la derivada direccional máxima de h = f o g en el punto (0, π) e indique la dirección y sentido en que se produce.

Ejemplo de 1° Parcial
T1) Defina solución general, particular y singular de una ecuación diferencial ordinaria. Analice qué tipo desolución es
y = x + 2 de la ecuación y ′′ + y ′ = 1.
T2) Sea f : IRn →IR un campo escalar diferenciable en A , demuestre que f es derivable en toda dirección en A .
E1) Dada f ( x , y ) =

x3

si ( x , y ) ≠ ( 0,0) , proponga un valor para f(0,0) de manera que f resulte derivable en toda
x2 + y2
dirección en (0,0). En esta condiciones analice si f es diferenciable en el origen.
E2) SeaF la familia de líneas de nivel de f ( x, y ) = x − y 2 , halle la curva de la familia ortogonal a F que pasa por (0,2).
E3) Dada w = f (u , v ) con (u, v ) = ( x 2 + x y , y 2 − x ) , resulta w = h( x , y ) . Calcule aproximadamente h(103 , 198)
.
.
sabiendo que f queda definida implícitamente por w u − ln( w + v ) + 6 = 0 .
E4) Sea π0 el plano tangente a la superficie Σ de ec. x 2 y + x z 2+ 3 e y z −2 = 0 en el punto A = ( −1, 1, 2) . Halle la ecuación cartesiana del plano normal a la curva C en A , sabiendo que C está incluida en π0 y en el plano de ec. z = 2 .

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Análisis Matemático II – Ejemplos de parcial

Ejemplo de 1° Parcial
(
T1) Defina derivada de un campo f en un punto A en la dirección de r (derivada direccional). Para el caso del campo escalar quese indica, analice la
existencia de derivadas direccionales en (0,0) según distintas direcciones.

 x sen( y 2 )

si ( x , y ) ≠ (0,0)
f ( x, y) =  x 2 + y 2

0
si ( x , y ) = ( 0,0)


T2) Defina extremos (máx. y mín.) locales; analice si f (11) es extremo local de f ( x , y ) = 2 + ( x − y ) 6 definida en IR2 .
,
Desde ciclo lectivo 2006 este ítem corresponde al 2° ParcialE1) Dado f ( x, y ) = ( x y , ln( x + y − 1) , 1 − y − x 2 ) , a) halle y grafique el dominio natural D de f , b) determine
y grafique el conjunto D1 ⊂ IR2 en cuyos puntos quedan definidas ambas derivadas parciales de f .
Halle la dirección de máxima derivada direccional de h en

u = x − y 2
E2) Dada z = f (u, v ) con 
resulta z = h( x , y ) . (1,1) y el valor de dicha derivada máxima,...