Modelos de polos y ceros

MODELOS DE POLOS Y CEROS
    En el tema correspondiente a la transformada de Laplace se mostró la manera en que el comportamiento de un sistema de tiempo continuo podía deducirse de la posición de sus polos y ceros en el plano s.
    La ventaja de este procedimiento era que el diagrama de polos y ceros se podía interpretar para obtener información sobre la respuesta en frecuencia de estadoestable, el comportamiento transitorio y la estabilidad del sistema. Ahora se describirá un enfoque similar para representar el comportamiento de sistemas de tiempo discreto.
    Mediante el empleo de la transformada z ha sido posible desarrollar modelos de secuencias y sistemas de tiempo discreto en forma de cocientes de polinomios      

     
    Como en el caso de las funciones de variablede Laplace s, los valores de z para los que el polinomio del numerador Y(z) vale cero se conocen como ceros, {z1, z2, ..... zm} y los valores para los que el polinomio del denominador X(z) vale cero se conocen como polos {p1, p2, ..... pn}
    Al igual que s, z es una variable compleja con una parte real y una imaginaria, y las posiciones de los polos y los ceros en valores específicos de z sepueden representar en un diagrama de la misma manera que en plano s. No es de sorprenderse pues que a este diagrama se le conozca como plano z.
    Veamos un ejemplo: Dibujar el diagrama de polos y ceros en el plano z de las siguientes funciones de transferencia:      
(a)  ;    (b)  ;    (c) 
HYPERLINK "http://www.ehu.es/Procesadodesenales/tema4/t85a5.htm" Solución
Interpretación en el dominiodel plano z
    Un diagrama de polos y ceros en el plano z es una representación de una secuencia particular. Si el diagrama muestra los polos y los ceros de la función de transferencia H(z) de un sistema de tiempo discreto, entonces la secuencia representada es la respuesta a la muestra unitaria del sistema.
    Como ejemplo, considérese de nuevo el procesador recursivo, Figura 4.14., definidopor la función de transferencia:      

   Fig. 4.14.  
    En este caso el cero está fijo en z=0, pero la posición del polo se puede cambiar variando la constante . Ahora bien, que la respuesta hn a la muestra unitaria (t) de este sistema es la secuencia infinita:     h[n] = 1,  ,  2,  3,  4,  5, ... de manera que la posición del polo se puede asociar fácilmente con su secuenciacorrespondiente para diferentes valores de 
    Fig. 4.15. 
    Los polos que se encuentran en el eje real entre z = -1 y z =1 corresponden con claridad a secuencias infinitas que se reducen gradualmente a cero en intervalos de muestreo sucesivos; esto indica que para -1 < < 1, el sistema es estable | | < 1. Por otro lado, los polos que se encuentran más allá de z = 1 ó z = -1 seasocian con secuencias que se incrementan de manera indefinida e ilimitada mientras el sistema sea lineal, lo que indica un comportamiento inestable | |>1.
    El caso en que es igual a 1 ó -1, | |=1 da lugar a polos en z = 1 o z = -1. Esto corresponde a un comportamiento que se encuentra en el límite entre la estabilidad y la inestabilidad, puesto que las secuencias asociadas son 1, 1, 1, 1,... y 1, -1, 1, -1, ... que no se incrementan ni se reducen a cero. Por consiguiente, los polos que se encuentran sobre el eje real del plano z corresponden a sistemas estrictamente estables o a secuencias que se reducen a cero, sólo si verifican que | | < 1.
    Un último punto que es importante observar es que los polos que se encuentran a la izquierda del origen del plano z estánasociados con secuencias de signo alternante.
    Se puede observar, Figura 4.15., que estas secuencias oscilan con una frecuencia igual a la mitad de la frecuencia de muestreo ya que el signo de las muestras cambia de positivo a negativo y de nuevo a positivo en dos periodos de muestreo.
Ejemplo:
    Las ecuaciones en diferencias finitas lineales de los procesadores son:
(a) y[n] = a·x[n] + b·x[n...