MODELOS DE POLOS Y CEROS
Páginas: 6 (1430 palabras)
Publicado: 5 de abril de 2015
MODELOS DE POLOS Y CEROS
En el tema correspondiente a la transformada de Laplace se mostró la manera en
que el comportamiento de un sistema de tiempo continuo podía deducirse de la
posición de sus polos y ceros en el plano
s
.
La ventaja de este procedimiento era que el diagrama de polos y ceros se podía
interpretar para obtener información sobre la respuesta en frecuencia de estado
estable,el comportamiento transitorio y la estabilidad del sistema. Ahora se describirá
un enfoque similar para representar el comportamiento de sistemas de tiempo
discreto.
Mediante el empleo de la transformada
z
ha sido posible desarrollar modelos de
secuencias y sistemas de tiempo discreto en forma de cocientes de polinomios
Como en el caso de las funciones de variable de Laplace
s
, los valoresde
z
para los
que el polinomio del numerador Y(z) vale cero se conocen como
ceros,
{z
, z
, ..... z
}y
1
2
m
los valores para los que el polinomio del denominador X(z) vale cero se conocen
como
polos
{p
, p
, ..... p
}
1
2
n
Al igual que
s, z
es una variable compleja con una parte real y una imaginaria, y las
posiciones de los polos y los ceros en valores específicos de z
se pueden representar en
un diagrama de la misma manera que en plano
s
. No es de sorprenderse pues que a
este diagrama se le conozca como
plano z
.
Veamos un ejemplo: Dibujar el diagrama de polos y ceros en el plano
z
de las
siguientes funciones de transferencia:
(a)
; (b)
; (c)
Solución
Interpretación en el dominio del plano z
Un diagrama de polos y ceros en el plano
z
es unarepresentación de una secuencia
particular. Si el diagrama muestra los polos y los ceros de la función de transferencia
H(z) de un sistema de tiempo discreto, entonces la secuencia representada es la
respuesta a la muestra unitaria del sistema.
Como ejemplo, considérese de nuevo el procesador recursivo, Figura 4.14., definido
por la función de transferencia:
Fig. 4.14.
En este caso el cero estáfijo en z=0, pero la posición del polo se puede cambiar
variando la constante a. Ahora bien, que la respuesta h[n] a la muestra unitaria d(t) de
este sistema es la secuencia infinita: h[n] = 1, a , a 2
, a 3
, a 4
, a 5
, ...
de manera que la posición del polo se puede asociar fácilmente con su secuencia
correspondiente para diferentes valores de a.
La Figura 4.15. muestra lassecuencias que se obtienen para una gama de valores
de a.
Fig. 4.15.
Los polos que se encuentran en el eje real entre
z = -1
y
z
=1 corresponden con
claridad a secuencias infinitas que se reducen gradualmente a cero en intervalos de
muestreo sucesivos; esto indica que para -1 < a < 1, el sistema es
estable
| a | < 1. Por
otro lado, los polos que se encuentran más allá de
z
=1ó
z=
-1
seasocian con
secuencias que se incrementan de manera indefinida e ilimitada mientras el sistema
sea lineal, lo que indica un comportamiento
inestable
| a |>1.
El caso en que a es igual a 1 ó -1,
|
a |=1 da lugar a polos en
z = 1
o
z = -1
. Esto
corresponde a un comportamiento que se encuentra en el límite entre la estabilidad y
la inestabilidad, puesto que las secuencias asociadas son 1,1, 1, 1, ... y 1, -1, 1, -1, ...
que no se incrementan ni se reducen a cero. Por consiguiente, los polos que se
encuentran sobre el eje real del plano
z
corresponden a sistemas estrictamente
estables o a secuencias que se reducen a cero, sólo si verifican que
|
a | < 1.
Un último punto que es importante observar es que los polos que se encuentran a la
izquierda del origen del plano
zestán asociados con secuencias de signo alternante.
Se puede observar, Figura 4.15., que estas secuencias oscilan con una frecuencia
igual a la mitad de la frecuencia de muestreo ya que el signo de las muestras cambia de
positivo a negativo y de nuevo a positivo en dos periodos de muestreo.
Ejemplo:
Las ecuaciones en diferencias finitas lineales de los procesadores son:
(a) y[n] = a·x[n] + b·x[n...
En el tema correspondiente a la transformada de Laplace se mostró la manera en
que el comportamiento de un sistema de tiempo continuo podía deducirse de la
posición de sus polos y ceros en el plano
s
.
La ventaja de este procedimiento era que el diagrama de polos y ceros se podía
interpretar para obtener información sobre la respuesta en frecuencia de estado
estable,el comportamiento transitorio y la estabilidad del sistema. Ahora se describirá
un enfoque similar para representar el comportamiento de sistemas de tiempo
discreto.
Mediante el empleo de la transformada
z
ha sido posible desarrollar modelos de
secuencias y sistemas de tiempo discreto en forma de cocientes de polinomios
Como en el caso de las funciones de variable de Laplace
s
, los valoresde
z
para los
que el polinomio del numerador Y(z) vale cero se conocen como
ceros,
{z
, z
, ..... z
}y
1
2
m
los valores para los que el polinomio del denominador X(z) vale cero se conocen
como
polos
{p
, p
, ..... p
}
1
2
n
Al igual que
s, z
es una variable compleja con una parte real y una imaginaria, y las
posiciones de los polos y los ceros en valores específicos de z
se pueden representar en
un diagrama de la misma manera que en plano
s
. No es de sorprenderse pues que a
este diagrama se le conozca como
plano z
.
Veamos un ejemplo: Dibujar el diagrama de polos y ceros en el plano
z
de las
siguientes funciones de transferencia:
(a)
; (b)
; (c)
Solución
Interpretación en el dominio del plano z
Un diagrama de polos y ceros en el plano
z
es unarepresentación de una secuencia
particular. Si el diagrama muestra los polos y los ceros de la función de transferencia
H(z) de un sistema de tiempo discreto, entonces la secuencia representada es la
respuesta a la muestra unitaria del sistema.
Como ejemplo, considérese de nuevo el procesador recursivo, Figura 4.14., definido
por la función de transferencia:
Fig. 4.14.
En este caso el cero estáfijo en z=0, pero la posición del polo se puede cambiar
variando la constante a. Ahora bien, que la respuesta h[n] a la muestra unitaria d(t) de
este sistema es la secuencia infinita: h[n] = 1, a , a 2
, a 3
, a 4
, a 5
, ...
de manera que la posición del polo se puede asociar fácilmente con su secuencia
correspondiente para diferentes valores de a.
La Figura 4.15. muestra lassecuencias que se obtienen para una gama de valores
de a.
Fig. 4.15.
Los polos que se encuentran en el eje real entre
z = -1
y
z
=1 corresponden con
claridad a secuencias infinitas que se reducen gradualmente a cero en intervalos de
muestreo sucesivos; esto indica que para -1 < a < 1, el sistema es
estable
| a | < 1. Por
otro lado, los polos que se encuentran más allá de
z
=1ó
z=
-1
seasocian con
secuencias que se incrementan de manera indefinida e ilimitada mientras el sistema
sea lineal, lo que indica un comportamiento
inestable
| a |>1.
El caso en que a es igual a 1 ó -1,
|
a |=1 da lugar a polos en
z = 1
o
z = -1
. Esto
corresponde a un comportamiento que se encuentra en el límite entre la estabilidad y
la inestabilidad, puesto que las secuencias asociadas son 1,1, 1, 1, ... y 1, -1, 1, -1, ...
que no se incrementan ni se reducen a cero. Por consiguiente, los polos que se
encuentran sobre el eje real del plano
z
corresponden a sistemas estrictamente
estables o a secuencias que se reducen a cero, sólo si verifican que
|
a | < 1.
Un último punto que es importante observar es que los polos que se encuentran a la
izquierda del origen del plano
zestán asociados con secuencias de signo alternante.
Se puede observar, Figura 4.15., que estas secuencias oscilan con una frecuencia
igual a la mitad de la frecuencia de muestreo ya que el signo de las muestras cambia de
positivo a negativo y de nuevo a positivo en dos periodos de muestreo.
Ejemplo:
Las ecuaciones en diferencias finitas lineales de los procesadores son:
(a) y[n] = a·x[n] + b·x[n...
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