Modelos de stackelberg y bertrand

1. COMPETENCIA EN PRECIOS
La competencia como funciona en muchos mercados, es que la empresa no produce el servicio o producto hasta que el consumidor lo compra al precio indicado por la empresa, estos mercado se incluyen el de restaurantes, el de electricistas, el de compañías de mudanzas, el de empresas consultora y el de servicios financieros. Esto difiere mucho de la forma en que funciona lacompetencia en el modelo de Cournot. En este modelo, cada empresa fabrica en forma independiente un volumen dado de producción. Primero se produce y después se ajusta el precio para que los consumidores adquieran la producción total fabricada por la empresa.
2. MODELO DE BERTRAND
3.1. EL MODELO DE DUOPOLIO DE BERTRAND
El modelo estándar de duopolio de Cournot, replanteado en términosde estrategias de precios en lugar de estrategias de cantidades de producción, se conoce como modelo de Bertrand, que considero la ausencia de competencia en precios como una debilidad del análisis de Cournot. El legado de Bertrand es el reconocimiento de que el uso del precio como variable estratégica es diferente del uso de la cantidad como este mismo tipo de variable.
Ejemplificando, cadacompañía escogerá el precio que cobrara, en lugar de la cantidad que fabrica. Hay dos empresas que eligen sus estrategias en forma simultánea. Cada una produce un bien idéntico con el mismo costo marginal constante, c. Cada empresa conoce la estructura de la demanda del mercado. Antes describimos la demanda con una función lineal de demanda inversa, P= A-BQ. Cuando las compañías eligen precios enlugar de cantidades, es más conveniente replantear la función de demanda y tener la producción toral como variable dependiente, tenemos:
Q = a - bP, donde a=A/B y B=1/B
Considerando el problema de la asignación de precios primero desde la perspectiva de la empresa 2. Para determinar su mejor respuesta de precio respecto a su rival, la empresa 1, la compañía 2 debe calcular primero la demandade su producto, condicionada tanto a su propio precio, indicado como p2, como al precio de la empresa 1, indicando como p1. El razonamiento de la empresa 2 procede luego como sigue. Si p2>p1, la compañía 2 no venderá su producción. El producto es homogéneo. Fijar un precio más alto que el de la compañía 1 significa, por consiguiente, que la empresa 2 no servirá a ningún cliente. Lo opuesto escierto si p2<p1. Cuando la empresa 2 fija el precio más bajo, surte a todo el mercado y la compañía 1 no vende nada. Por último, si suponemos que p2=p1, las dos empresas se dividirán el mercado en partes iguales, tendrán igual número de clientes.
Lo anterior significa que la demanda de producción de la empresa 2, q2, se puede describir como sigue:
q2= 0 si p2>p1
q2=(a-bp2)/2 si p2=p1
q2= a-bp2 si p2<p1

La discontinuidad en la demanda lleva en sí una discontinuidad en las utilidades. La utilidad de la compañía 2, 2, como una función de p1 y p2, es:

2(p1, p2)=0 si p2>p1
2(p1, p2) = (p2-c)((a-bp2)/2) si p2= p1
2(p1, p2) = (p2-c)(a-bp2) sip1<p1

Para determinar la función de mejor respuesta de la empresa 2, es necesario determinar el precio, p2, que maximiza las utilidades de la empresa 2, (p1, p2), para cualquier selección dada de p1.

Si p1<c, la empresa 2 queda mejor si fija su precio en algún nivel por arriba de p1. Esto significa que la empresa 2 no venderá nada y que sus utilidades serán cero. Pero cualquier otraopción llevara a utilidades negativas. Pero si p2 es menor o igual que p1, la empresa 2 venderá una cantidad positiva de producción. Puesto que tal precio estará por debajo de su costo unitario, la empresa 2 perderá dinero con cada unidad que venda.
En el caso más probable de que la empresa 1 establece su precio por debajo del costo marginal, c, pero es igual o está por debajo del precio de...