Modelos Enlaces Metalicos

MODELOS EN LA TEORÍA DE METALES
TEORÍA DE ELECTRONES LIBRES EN METALES.
Esta sección introduce la teoría de electrones libres en metales, que resuelve los defectos del modelo clásico al tomar en cuenta la naturaleza ondulatoria de los electrones. En este modelo, uno se imagina que los electrones de la capa exterior están libres para moverse por el metal, pero en realidad están atrapados dentrode una caja tridimensional formada por las superficies del metal. Por lo tanto, cada electrón está representado como una partícula en una caja. En el caso de los electrones, es necesario usar estadísticas cuánticas, con el requisito de que cada estado del sistema puede ser ocupado sólo por dos electrones (uno con el espín arriba y otro con el espín abajo) como consecuencia del principio deexclusión. La probabilidad de que un estado particular con energía E sea ocupado por uno de los electrones en un sólido esta dada por:

Donde f(E)se denomina función de distribución Fermi-Dirac y EF se llama energía de Fermi. En la figura (4) se ilustra una grafica f(E) contra E en T =0 K. Observe que f(E)=1 para E < EF y f(E)=0 para E>EF. Esto es, a 0 K todos los estados que tienen energíasmenores que la energía de Fermi están ocupados, y todos los estados que tienen energías mayores que la energía de Fermi están libres. En la figura (4) se muestra una grafica de f (E) contra E a cierta temperatura T>0 K. Esta curva muestra que, cuando T aumenta, la distribución se redondea ligeramente, con estados cerca y por debajo de EF perdiendo población, y estados cerca y por encima de EFganando población, debido a la excitación térmica. La energía de Fermi EF también depende dela temperatura, pero la dependencia es débil en los metales. Encontramos que si una partícula de masa m está confinada a moverse en una caja unidimensional de longitud L, los estados permitidos tienen niveles de energía cuantificada dados por la ecuación:

Ahora imagine una pieza de metal en forma de cubosólido con lados L y volumen L2. Por lo tanto, el electrón se modela como una partícula en una caja tridimensional. En este modelo, requerimos que ψ(x, y, z)=0 en las fronteras del metal. Se puede demostrar.

Donde me es la masa del electrón y nx, ny y nz son los números cuánticos. Como esperamos, las energías están cuantizadas, y cada valor permitido dela energía está caracterizado por este conjuntode 3 números cuánticos y el número cuántico de espín ms .Debido al tamaño macroscópico L de la caja, los niveles de energía para los electrones están muy cerca entre sí. En consecuencia, podemos tratar los números cuánticos como variables continuas: Bajo esta suposición, el numero de estado permitidos por volumen unitario que tiene energías entre E y E+dE es:

La función g(E) se denominafunción de densidad de estados. Para un metal en equilibrio térmico, el numero de electrones por volumen unitario N(E) dE que tiene energía entre E y E + dE es igual al producto del numero de estados permitido y la probabilidad de que un estado éste ocupado, es decir, N(E)dE=f(E)g(E)dE

Las graficas de N(E) contra E para dos temperaturas se dan en la figura (5)

si ne es el número total de electronespor volumen unitario, pedimos que:

Podemos usar esta condición para calcular la energía de Fermi. A T=0 K, la función de distribución de Fermi-Dirac f(E)=1 para E < EF y f(E)=0 para E >EF. Por l tanto, a T=0 K, la ecuación anterior se convierte en:

Al despejar la energía de Fermi a 0 K, obtenemos:

El orden de magnitud de la energía de Fermi para metales es alrededor de 5eV.Enresumen, podemos considerar que un metal es un sistema que comprende un número muy grande de niveles de energía existentes para los electrones libres. Estos electrones llenan estos niveles de acuerdo con el principio de exclusión de Pauli, comenzando con E=0 y terminando con EF.

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