Modelos Estocasticos

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Facultad de Ingenier´ ıa Escuela de Ingenier´ Industrial ıa ICI3017 Modelos Estoc´sticos a

Control # 1 Viernes 2 de Septiembre de 2011

1. Hay n tiradores cuyaspunter´ son perfectas y se lanzan m discos (m ≤ n) al mismo tiempo. Cualquier ıas tirador puede disparar a cualquier disco con igual probabilidad y cada tirador tiene solo un tiro. (a) Calcule la esperanzadel n´mero total de discos NO destruidos para los valores n = m = 10 u 10

R: 10

9 10

= 3.4868

n (b) Demuestre que cuando n → ∞, con m = λ, se tiene que el porcentaje esperado de discosdestruidos −λ es 1 − e  n m − m m−1  λ n m  R: n→∞ E lim = 1 − n→∞ 1 − lim m n

2. Considere una calle de dos pistas de 3.5 m de ancho cada una, cuyo flujo vehicular se modela como un flujopoissoniano de parmetro λ1 = 10 autos en el sentido Norte-Sur y uno con flujo λ2 = 17 autos en el min min sentido Sur-Norte. La persona promedio camina a 1 m , necesita de 1 s para subir y 1 s para bajar de la svereda y s´lo cruza cuando ve un headway suficiente. o (a) Calcule la probabilidad de que la persona cruce la calle al primer intento. 9 −(10+17) 60

R: e

= 1.7422%

(b) Calcule la probabilidadde cruzar al primer intento si al centro se construye una mediana. −10 5.5 −17 5.5 60 60

R: e

e

= 8.4163%

3. Suponga que en el kil´metro d de una autopista con una pista de un s´losentido, entran veh´ o o ıculos de acuerdo a un proceso Poisson No-Homog´neo, cuya tasa va creciendo linealmente a un ritmo de µ autos , e h2 habiendo sido nula al comienzo del tiempo de medici´n. Se sabeque todos los veh´ o ıculos viajan a una velocidad V km constante. Luego, para el instante T , y considerando d < a < b. h (a) Calcule el n´mero esperado de autos que habr´n pasado por a. u a a−d T− Vµ a−d 2

R:

0

µt dt =

2
1 2

T−

V
a−d V +µ T − 2 b−d V b−a V 2  

(b) Demuestre que el n´mero esperado de autos que habr´ en el intervalo [a, b] es u a µ T− 

R:

T − a−d...