Modelos Fisicos I

Modelos Físicos I
Ingeniería de Sistemas I

Índice
TEMA – Modelos Físicos I
1. – Modelado
2. – Sistemas mecánicos de traslación
3. – Sistemas mecánicos de rotación
4. – Sistemas eléctricos
4.1 – Redes pasivas
4.2 – Motor de CC controlado por inducido

Modelado
Modelo
El concepto de modelo es central en la teoría de sistemas, ya que a partir de él es posible
conocer las propiedades del sistema yabordar el diseño del controlador.

Atributos
ƒ Precisión:
P i ió refleje
fl j ell comportamiento
t i t del
d l sistema
it
en ell aspecto
t buscado
b
d
ƒ Utilidad: susceptible de ser manejado con un cierto grado de sencillez

Clasificación
¾ Modelos Axiomáticos: se obtienen a partir de las ecuaciones físico-matemáticas del
sistema
¾ Modelos Empíricos: representan el conocimiento del sistema através de relaciones
entrada-salida. Corresponde con la clásica representación mediante una caja negra

M d l Matemático
Modelo
M
ái
9 Dado que no es posible conocer las propiedades y el comportamiento de un sistema
físico, es necesario recurrir a un modelo matemático.
9 El análisis del modelo matemático permitirá conocer las propiedades del sistema físico
9 El modelo matemático se obtiene a partir deun conjunto de aproximaciones y
simplificaciones

Modelado – Ejemplo
Ejemplo: Suspensión del R28
m

K

B

P

m

d [x1 (t ) − x(t )]
d 2 x(t )
=B
+ K [x1 (t ) − x(t )]
dt
dt 2
G (s ) =

X (s )
Bs + K
=
X 1 (s ) ms 2 + Bs + K

x(t)

x1(t)

Sistemas Mecánicos de Traslación
Elementos Básicos
f(t)

f(t)

f(t)

K

B

2ª Ley de Newton
r
r
F = ∑ ma

M
x(t)
(t)

x1(t
(
)

Masa

f (t ) = M

Muelle

x2(t
()

x1(t
(
)

x2(t
(
)

Amortiguador

d 2 x(t )
⎡ dx1 (t ) dx2 (t ) ⎤
−
f (t ) = K [x1 (t ) − x2 (t )] f (t ) = B ⎢
2
dt ⎥⎦
dt
⎣ dt

Ejemplo: Sistema Masa-Muelle-Amortiguador
m
K

B
Kx(t)

Bdx(t)/dt

m

x(t)

d 2 x(t )
dx(t )
= f (t ) − K x(t ) − B
dt
dt 2

G (s ) =

1
X (s )
⇒ G (s ) =
F (s )
ms 2 + Bs + K

f(t)

Sistemas Mecánicos de Traslación – Ejemplo
Ejemplo: Sistema de dos masas
f(t)

K1f(t)

K2 x2(t)

K2
m2

B

x2(t)

m1

m2

G (s ) =

K1 (x2(t) - x1(t))

m2
B d(x
( 2((t)) - x1 ((t))/dt
))

m1

x1(t)

K1 (x2(t) - x1(t))

B d(x2(t) - x1 (t))/dt

d 2 x1 (t )
d [x2 (t ) − x1 (t )]
=B
+ K 1 [x2 (t ) − x1 (t )]
dt 2
dt
2
X 1 (s ) [m1 s + Bs + K 1 ] = X 2 (s ) [Bs + K 1 ]

d 2 x 2 (t )
d [x 2 (t ) − x1 (t )]
= f (t ) − K 2 x 2 (t ) − K 1 [x 2 (t ) − x1 (t )] − B
dt
dt 2
X 2 (s ) [m2 s 2+ Bs + (K 1 + K 2 )] = X 1 (s ) [Bs + K 1 ] + F (s )

X 2 (s )
m1 s 2 + Bs + K1
=
F (s ) m1 m2 s 4 + B(m1 + m2 )s 3 + [m1 K 2 + (m1 + m2 )K 1 ]s 2 + BK 2 s + K 1 K 2

m1

Sistemas Mecánicos de Rotación
Elementos Básicos
T(t)

T(t)/2

K

T(t)/2

T(t)/2

T(t)/2

T = Jα

B

J
θ(t)
()

θ1((t))

Inercia

T (t ) = J

2ª Ley de Newton

θ2((t))

θ1((t))

θ2((t))

N1

Fricción

Resorte

⎡ dθ1 (t ) dθ 2(t ) ⎤
−
T (t ) = K [θ1 (t ) − θ 2 (t )] T (t ) = B ⎢
dt ⎥⎦
⎣ dt

d 2θ (t )
dt 2

Velocidad angular

dθ (t )
ω (t ) =
→ Ω(s ) = sθ (s )
dt

T2 (t)
θ1(t)
θ2(t)

θ (t)

θ (s )

ω(t)

T (s )

=

T1 (t ) =

N1
T2 (t )
N2

θ1 (t ) =

N2
θ 2 (t )
N1

Ω(s )
1
=
T (s ) Js + B

1
→
s (Js + B )

N2

Tren de engranajes

Ejemplo: Sistema Masa-Amortiguador
d 2θ (t )
dθ (t )
J
= T (t ) − B
dt 2
dt
J
B
T(t)

T1(t)

Sistemas Mecánicos de Rotación – Ejemplo
Ejemplo: Sistema motor-engranaje-carga

d 2θ1 (t )
dθ (t )
+ B1 1 = T (t ) − T1 (t )
dt
dt 2
d 2θ 2 (t )
dθ 2 (t )
+ B2
= T2 (t )
J2
dt
dt 2

N1

J1

T (t)

J1

B1

T1(t) ω1(t) θ1(t)
N2

ω2(t) θ2(t) T2(t)

T1 (t ) N 1
=
= n → T1 (t ) = nT2 (t )
T2 (t ) N 2

θ1 (t ) N 2 1
=
=
→ θ 2 (t ) = nθ 1 (t )
θ 2 (t ) N 1 n

⎡ d 2θ1 (t )
⎡ d 2θ 2 (t )
d 2θ1 (t )
dθ(t )
dθ (t ) ⎤
dθ (t ) ⎤
+ B2 1 ⎥
+ B1 1 = T (t ) − nT2 (t ) = T (t ) − n ⎢ J 2
+ B2 2 ⎥ = T (t ) − n 2 ⎢ J 2
2
2
dt
dt
dt
dt ⎦
dt 2
dt ⎦
⎣
⎣

J1

(J

J2

B2

1

+ n2 J 2 )

d 2θ1 (t )
dθ (t )
+ (B1 + n 2 B2 ) 1 = T (t )
dt 2
dt

θ1 (s )
T (s )

=

1
s [(J 1 + n 2 J 2 )s + (B1 + n 2 B2 )]
J eq = J 1 + n 2 J 2
Beq = B1 + n 2 B2

Ω1 (s )
1
=
T (s ) (J 1 + n 2 J 2 )s + (B1 + n 2 B2 )

⎫⎪ θ 1 (s...