Modelos Fisicos
Páginas: 7 (1522 palabras)
Publicado: 9 de abril de 2012
1.
1.
Sistemas Físicos
Sistemas Físicos _______________________________________________ 1
1.1. Introducción _________________________________________________________________ 2
1.2. Sistemas Mecánicos ___________________________________________________________ 3
1.3. Sistemas Eléctricos ____________________________________________________________ 5
1.4. Sistemas Hidráulicos__________________________________________________________ 7
1.5. Sistemas Múltiples ___________________________________________________________ 11
1
1.1.
Introducción
Sistemas lineales y no lineales.
No existen sistemas lineales
Pero, .... en este curso simplificaremos todos los sistemas a sistemas lineales.
2
1.2.
Sistemas Mecánicos
Ejemplo 1. Traslación Mecánica
Ley deNewton
ma = ∑ F
[1.1]
ma ( t ) = −bv ( t ) − kx ( t ) + p ( t )
[1.2]
m
d 2 x (t )
dt
2
= −b
dx ( t )
dt
− kx ( t ) + p ( t )
d 2 x (t )
dx ( t )
m
+f
+ kx ( t ) = p ( t )
2
dt
dt
[ g ] m seg 2 + Nseg m m seg + N m [ m] = [ N ]
[1.3]
[1.4]
[1.5]
3
Ejemplo 2. Rotación Mecánica
Ley deNewton
Jα = ∑ P
[1.6]
Ahora quiero ver cómo varía la velocidad
&
J ω ( t ) = −bω ( t ) + P ( t )
[1.7]
rad
+ [ Nm ]
Nmseg 2 rad
2 = [ Nmseg ]
seg
seg
[1.8]
4
1.3.
Sistemas Eléctricos
Ejemplo 3. Circuito Eléctrico
Ley de Kirchhoff
L
di
1
+ Ri + ∫ idt = e
dt
C
[1.9]
tensión en el condensador
ec =
1
∫idt
C
[1.10]
[ H ] A seg + [Ω][ A] + 1 F [ Aseg ] = [V ]
[1.11]
En términos de carga eléctrica,
dq
2
1
di
dt + R dq + 1 q = L d q + R dq + 1 q
L + Ri + ∫ idt = L
dt
C
dt
dt C
dt
dt C
d
d 2q
dq 1
+R + q=e
L
dt
dt C
[1.12]
[1.13]
5
comparar esta ecuación con la de traslación mecánica.
Ejemplo 4. Sismógrafo
&&
&&
mx0 + b( x0 − xi ) + k ( x0 − xi ) = 0
y = ( x0 − xi )
&& &
my + by + ky = 0
6
1.4.
Sistemas Hidráulicos
Ejemplo 5. Nivel de Líquidos
Qo = K H
linealizando
qo = R0 h
la constante
dv
= qi − qo
dt
dh
A = qi − Ro h
dt
7
Ejemplo 6. Sistema de Dos Tanques
q1 =
A1
h1 − h2
R1
dh1
= q − q1
dt
h2
= q2
R2
A2
dh2
= q1 − q2
dt
8
Ejemplo 7. SistemaNeumático
Se define
Kg
d ∆P m 2 variaciòn de diferencia de presión de gas
=
R=
=
variaciòn de caudal
dq
Kg
seg
Kg
3
dm
dρ
3
m = variaciòn de la masa de gas acumulado
C=
=V
= m
dp
dp Kg
variaciòn de presión de gas
2
m
9
en una aproximación, se puede considerar
dρ
1
=
dp nRgasT
para una mismatemperatura, esta variación es constante
En la figura, se intenta controlar la presión interior, variando la presión de entrada
d ∆P pi − po
R=
≈
dq
q−0
C=
dm qdt
dρ
=
=V
dpo dpo
dpo
Cdpo = qdt
dpo pi − po
=
dt
R
dp
RC o + po = pi
dt
C
10
1.5.
Sistemas Múltiples
Ejemplo 8. Sistemas múltiples
&&
m1 &&1 + b1 ( x1 − x2 ) + k1 x1 = u1
x
&&
m2 &&2 + b1 ( x2 −x1 ) + k2 x2 = u2
x
11
Ejemplo 9. Acelerómetro
la caja está unida a la estructura del avión
&&
&&
mx0 + b ( x0 − xi ) + k ( x0 − xi ) − mgsen (θ ) = 0
y = x0 − xi
&& &
&&
my + by + ky = − mxi + mg sen (θ )
nuevas variables
z = y+
mg
sen (θ )
k
w = &&i
x
&
m&& + bz + kz = − mw
z
b
k
&& + z + z = − w
&
z
m
m
12
Ejemplo 10. Tren de Engranajes
&&&
J θ + f θ +T = T
11
11
1
m
&&
&
J 2θ 2 + f 2θ 2 + T3 = T2
igualdad de trabajos
T1θ1 = T2θ 2
T2 = T1
N2
N1
&&
&
J 3θ 3 + f 3θ 3 + Tl = T4
T4 = T3
N4
N3
N3
N1 N 3
θ3 = θ 2
= θ1
N4
N2 N4
13
NN
&&
&N
&&
&
&&
&
J1θ1 + f1θ1 + 1 J 2θ 2 + f 2θ 2 + 1 3 J 3θ 3 + f 3θ 3 + Tl = Tm
N2
N2 N4
(
)
(
)
N12
N12 N 32 &&
N12
N12...
1.
Sistemas Físicos
Sistemas Físicos _______________________________________________ 1
1.1. Introducción _________________________________________________________________ 2
1.2. Sistemas Mecánicos ___________________________________________________________ 3
1.3. Sistemas Eléctricos ____________________________________________________________ 5
1.4. Sistemas Hidráulicos__________________________________________________________ 7
1.5. Sistemas Múltiples ___________________________________________________________ 11
1
1.1.
Introducción
Sistemas lineales y no lineales.
No existen sistemas lineales
Pero, .... en este curso simplificaremos todos los sistemas a sistemas lineales.
2
1.2.
Sistemas Mecánicos
Ejemplo 1. Traslación Mecánica
Ley deNewton
ma = ∑ F
[1.1]
ma ( t ) = −bv ( t ) − kx ( t ) + p ( t )
[1.2]
m
d 2 x (t )
dt
2
= −b
dx ( t )
dt
− kx ( t ) + p ( t )
d 2 x (t )
dx ( t )
m
+f
+ kx ( t ) = p ( t )
2
dt
dt
[ g ] m seg 2 + Nseg m m seg + N m [ m] = [ N ]
[1.3]
[1.4]
[1.5]
3
Ejemplo 2. Rotación Mecánica
Ley deNewton
Jα = ∑ P
[1.6]
Ahora quiero ver cómo varía la velocidad
&
J ω ( t ) = −bω ( t ) + P ( t )
[1.7]
rad
+ [ Nm ]
Nmseg 2 rad
2 = [ Nmseg ]
seg
seg
[1.8]
4
1.3.
Sistemas Eléctricos
Ejemplo 3. Circuito Eléctrico
Ley de Kirchhoff
L
di
1
+ Ri + ∫ idt = e
dt
C
[1.9]
tensión en el condensador
ec =
1
∫idt
C
[1.10]
[ H ] A seg + [Ω][ A] + 1 F [ Aseg ] = [V ]
[1.11]
En términos de carga eléctrica,
dq
2
1
di
dt + R dq + 1 q = L d q + R dq + 1 q
L + Ri + ∫ idt = L
dt
C
dt
dt C
dt
dt C
d
d 2q
dq 1
+R + q=e
L
dt
dt C
[1.12]
[1.13]
5
comparar esta ecuación con la de traslación mecánica.
Ejemplo 4. Sismógrafo
&&
&&
mx0 + b( x0 − xi ) + k ( x0 − xi ) = 0
y = ( x0 − xi )
&& &
my + by + ky = 0
6
1.4.
Sistemas Hidráulicos
Ejemplo 5. Nivel de Líquidos
Qo = K H
linealizando
qo = R0 h
la constante
dv
= qi − qo
dt
dh
A = qi − Ro h
dt
7
Ejemplo 6. Sistema de Dos Tanques
q1 =
A1
h1 − h2
R1
dh1
= q − q1
dt
h2
= q2
R2
A2
dh2
= q1 − q2
dt
8
Ejemplo 7. SistemaNeumático
Se define
Kg
d ∆P m 2 variaciòn de diferencia de presión de gas
=
R=
=
variaciòn de caudal
dq
Kg
seg
Kg
3
dm
dρ
3
m = variaciòn de la masa de gas acumulado
C=
=V
= m
dp
dp Kg
variaciòn de presión de gas
2
m
9
en una aproximación, se puede considerar
dρ
1
=
dp nRgasT
para una mismatemperatura, esta variación es constante
En la figura, se intenta controlar la presión interior, variando la presión de entrada
d ∆P pi − po
R=
≈
dq
q−0
C=
dm qdt
dρ
=
=V
dpo dpo
dpo
Cdpo = qdt
dpo pi − po
=
dt
R
dp
RC o + po = pi
dt
C
10
1.5.
Sistemas Múltiples
Ejemplo 8. Sistemas múltiples
&&
m1 &&1 + b1 ( x1 − x2 ) + k1 x1 = u1
x
&&
m2 &&2 + b1 ( x2 −x1 ) + k2 x2 = u2
x
11
Ejemplo 9. Acelerómetro
la caja está unida a la estructura del avión
&&
&&
mx0 + b ( x0 − xi ) + k ( x0 − xi ) − mgsen (θ ) = 0
y = x0 − xi
&& &
&&
my + by + ky = − mxi + mg sen (θ )
nuevas variables
z = y+
mg
sen (θ )
k
w = &&i
x
&
m&& + bz + kz = − mw
z
b
k
&& + z + z = − w
&
z
m
m
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Ejemplo 10. Tren de Engranajes
&&&
J θ + f θ +T = T
11
11
1
m
&&
&
J 2θ 2 + f 2θ 2 + T3 = T2
igualdad de trabajos
T1θ1 = T2θ 2
T2 = T1
N2
N1
&&
&
J 3θ 3 + f 3θ 3 + Tl = T4
T4 = T3
N4
N3
N3
N1 N 3
θ3 = θ 2
= θ1
N4
N2 N4
13
NN
&&
&N
&&
&
&&
&
J1θ1 + f1θ1 + 1 J 2θ 2 + f 2θ 2 + 1 3 J 3θ 3 + f 3θ 3 + Tl = Tm
N2
N2 N4
(
)
(
)
N12
N12 N 32 &&
N12
N12...
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