modelos lineales

Cap´
ıtulo 1
Introducci´n a los modelos lineales y
o
a los modelos de regresi´n.
o
1.1.

Planteamiento general. Modelo lineal de GaussMarkov univariante.

Consideremos k + 1 variables (Y ; X1 , · · · , Xk ) y supongamos que se disponen de N
(N > k + 1) observaciones de dichas variables
(yi ; xi1 , · · · , xik ) ; i = 1, · · · , N .
A la variable Y , de la cual se pretende estudiaralgunos aspectos sobre su comportamiento, se le suele llamar variable explicada o dependiente, mientras que al conjunto de
variables {X1 , . . . , Xk }, que son las empleadas para el estudio de la variable Y , se les conoce
con el nombre de variables explicativas o independientes.
Los modelos lineales adoptan tal denominaci´n debido a que el modelo para estudiar
o
el comportamiento de lavariable dependiente v´ las independientes es de la forma
ıa
yi = β0 + β1 xi1 + β2 xi2 + . . . + βk xik +

i

; i = 1, · · · , N

donde se observa, obviamente, que dicha funci´n es lineal en los par´metros.
o
a
En la expresi´n anterior hay que comentar algunos aspectos sobre los t´rminos que
o
e
aparecen en ella:
1. Las cantidades i son aleatorias cuyo significado es englobar en un t´rminode tipo
e
aleatorio todas aquellas influencias que existen sobre la variable dependiente y que
no son reflejadas por las variables explicativas.
2. βj , (j = 0, · · · , k), son par´metros desconocidos y no observables que se suelen conocer
a
con el nombre de efectos. Notemos que estos par´metros lo que hacen realmente es
a
ir ponderando los efectos o influencias que cada variable explicativatiene sobre la
variable explicada.
Con frecuencia se suele expresar el modelo anterior en forma matricial como
1

2/ Modelos Lineales









y1
y2
.
.
.
.
.
.
yN



Francisco Torres Ruiz



 
 
 
=
 
 

1 x11 x12
1 x21 x22
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 xN 1 xN 2

···
···
...
.
.
.
···

· · · x1k
·· · x2k
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
· · · xN k









β0
β1
.
.
.
.
.
.
βk





 
 
 
+
 
 

1
2

.
.
.
.
.
.









N

y en forma reducida
y = Xβ + ε
donde X es la llamada Matriz de Dise˜o, cuyas columnas contienen las observaciones de
n
las variables independientes m´s una columna de unos que sepuede interpretar como una
a
variable ficticia X0 que toma siempre el valor unidad 1 . Esta expresi´n gen´rica se le suele
o
e
conocer con el nombre de Modelo Lineal General.
Hay que hacer notar que en este planteamiento general quedan multitud de cuestiones
por precisar como pueden ser las siguientes:
1. La distribuci´n de la variable de perturbaci´n ε.
o
o
2. La aleatoriedad o no delos par´metros βj .
a
3. La aleatoriedad o no de las variables explicativas.
4. Tipo de matriz de dise˜o as´ como su rango.
n
ı
De esta forma se puede hacer una clasificaci´n de los modelos lineales atendiendo a
o
la naturaleza y las interrelaciones de los elementos del modelo. Asimismo se puede hacer
otra clasificaci´n basada en el hecho de si hay o no alguna variable multidimensional,
odistingui´ndose as´ entre el Modelo Lineal General Univariante y Multivariante. Dentro
e
ı
de estos modelos diremos que el modelo es simple si s´lo hay involucrada una variable
o
explicativa, mientras que diremos que es m´ltiple si existen varias variables explicativas
u
implicadas en el mismo.
Dentro del ´mbito de los modelos lineales, sin duda los m´s conocidos y estudiados
a
a
sonlos modelos de Gauss-Markov. En ellos la variable Y es aleatoria, la matriz de dise˜o
n
es conocida, el vector de par´metros es no aleatorio y el vector de errores s´ es aleatorio.
a
ı
Adem´s se impone la condici´n de que los errores tienen media cero, son homoced´sticos
a
o
a
(igual varianza) y son incorrelados.
Notemos que con estas premisas, la aleatoriedad del vector y viene...