Modelos Matematicos De Sistemas Fisicos

Tarea # 2
• Encontrar la solución a la siguiente
ecuación diferencial usando la transformada
de Laplace:
2

d
 (t )  100 (t )
2
dt
con las siguientes condiciones iniciales:
d
 (0)  (0) 50
dt

Tarea # 2
• Graficar la solución obtenida mediante
Laplace (t=0..2).
• Simular la ecuación diferencial en Simulink
(t=0..2) y comparar la gráfica obtenida con
el método de Laplace con la deSimulink.

Modelos matemáticos de
sistemas físicos

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
• Modelos matemáticos. Es un conjunto de ecuaciones
que representan la dinámica del sistema. Pueden
adoptar muchas formas distintas, dependiendo del
sistema y de las circunstancias especificas. Por
ejemplo en problemas de control óptimo, sería útil
una representación de estados y para los análisis de
respuestatransitoria o en frecuencia de sistemas
lineales SISO, una representación adecuada es la
función de transferencia.

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
• Sistemas lineales. Es el que cumple con el
principio de superposición, es decir, si se
establece que la respuesta producida por la
aplicación simultánea de 2 funciones
diferentes es la suma de las dos respuestas
individuales y que la entrada ysalida son
proporcionales, se dice que el sistema es
lineal.

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
• Sistemas lineales e invariantes con el
tiempo. Una ecuación diferencial lineal es
invariante en el tiempo si sus coeficientes
son constantes o funciones de la variable
independiente. Estos sistemas se denominan
por sus siglas en inglés como sistemas LTI
(Linear Time Invariant).

Modelosmatemáticos de
sistemas físicos
• Función de transferencia. La función de
transferencia de un sistema descrito
mediante una ecuación diferencial LTI se
define como la razón entre la transformada
de Laplace de la salida (respuesta) y la
transformada de Laplace de la entrada
(excitación). Bajo la suposición de que
todas las condiciones iniciales son cero.

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
Sistemamecánico
Sea el siguiente
sistema de resorte,
masa, amortiguador,
donde m es la masa, b
es el coeficiente de
fricción viscosa y k es
la constante del
resorte.

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
Sistema mecánico
Considerese la entrada a la fuerza u(t) y
como la salida al desplazamiento y(t) de la
masa. Se supone que la fuerza en el
amortiguador es proporcional a y’(t) y que
la fuerza delresorte es proporcional a y(t).

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
Sistema mecánico
Aplicando la segunda
ley de Newton.

ma  f
2

d
d
m 2 y (t ) u (t )  ky (t )  b y (t )
dt
dt

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
Sistema mecánico
Tomando la transformada de Laplace de la
ecuación diferencial
ms 2Y ( s ) U ( s )  kY ( s )  bsY ( s )
(ms 2  bs  k )Y ( s ) U ( s )
Y ( s)
1
 2
U (s ) ms  bs  k

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
Sistema eléctrico
Ecuación integrodiferencial
Vi (t ) L

d
1
i (t )  Ri (t )  i (t )dt
dt
C

Transformada de Laplace
I (s)
Vi ( s ) LsI ( s )  RI ( s ) 
sC
I ( s)
Vo ( s ) 
sC
Vo ( s )
1

Vi ( s )
LCs 2  RCs  1

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
Sistema eléctrico
Encontrar la función
de transferencia del
siguientecircuito RLC
en paralelo, tomando a
la salida como la
corriente de carga y la
entrada la fuente de
corriente.

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
Sistema hidráulico
La variable q
representa el flujo de
liquido, h el nivel del
liquido, C la capacidad
del tanque y R la
resistencia al flujo del
liquido.

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
Sistema hidráulico
d
q1 (t )  q2 (t ) C h(t )
dt
h(t )q2 (t ) 
R

Obtener la función de transferencia tomando a
la salida como la altura y la entrada el flujo q1.

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
Sistema hidráulico
Q1 ( s )  Q2 ( s ) CsH ( s )
Q2 ( s ) 

H ( s)
R

H ( s)
R

Q1 ( s ) sCR  1

Modelos matemáticos de
sistemas físicos
Analogía eléctrica
q -> i (corriente)
C -> C (capacitancia)
h -> V (voltaje)
R -> R (resistencia)
d
I1...