Modelos matematicos elementales en biologia

ALGUNOS MODELOS MATEMATICOS ELEMENTALES EN BIOLOGIA

Prof. Dr. Raúl F Jiménez Departamento Matemáticas Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción

El propósito principal de estas notas es hacer más visible el aporte de los modelos matemáticos elementales a la mejor compresión de ciertos fenómenos biológicos y, al mismo tiempo, permitir que jóvenes estudiantes de laenseñanza media, perciban las bondades que presenta la matemática para el desarrollo intelectual.

1. Cómo introducir la linealidad y no linealidad en Biología ? Los conceptos de linealidad y no linealidad, además de ser fundamentales en matemática, pueden ser fácilmente presentados a estudiantes de temprana edad, con simples ejemplos: Supongamos que leemos en la presa que "el alcoholismo en lajuventud, que en 1980 era de un 7%, aumentó a un 12% en 1997...". Podemos interpretar esta información en un modelo lineal, cuya ecuación es

y=

5 x+7 12

Con este modelo podemos estimar el porcentaje de alcohólicos en 1990, o en cualquier año cercano a los considerados en este estudio. Pero en 1968 y antes, no había alcohólicos? El porcentaje de alcohólicos en el año 2009 será de un 17%?.Llegará un día en que todos los jóvenes serán alcohólicos?. Es claro que el modelo no se ajusta a la realidad; es sólo una aproximación grosera. Podemos concluir entonces que el comportamiento de los jóvenes frente al alcohol es fenómeno no lineal , y habrá que mejorar el modelo matemático. Veamos un modelo no lineal: supongamos que un cierto día, el dueño de un gallinero descubre que sus gallinasestán muriendo por alguna enfermedad, y de inmediato las somete a tratamiento. Si a partir de ese día, la mortalidad está regida por el modelo

y = − x2 + 2 x + 4
donde x indica días e y el número de gallinas muertas, entonces observamos que este modelo responde mejor a la realidad. En efecto, podemos saber a partir de que día

empieza a ser efectivo el tratamiento, podemos saber cuándoempezó la enfermedad, cuantos días durará la enfermedad, cual será el número máximo de gallinas muertas, etc. Podemos seguir presentando modelos no lineales más complejos de tipo polinomial. Sin embargo, las funciones exponenciales y logarítmicas, son las más utilizadas en la Biología para modelar fenómenos no periódicos. Para estos últimos se usan obviamente las funciones seno y coseno, y lasfunciones que resultan de operaciones elementales entre ellas.

2. Ecuaciones de la dinámica de poblaciones. La palabra dinámica nos lleva, desde el punto de vista de la matemática, a considerar la derivada como "tasa de cambio instantánea". El concepto de derivada puede ser introducido con la ayuda de la física, pasando de "velocidad promedio" a "velocidad instantánea", de manera un tanto intuitiva.Es difícil saber cuándo y dónde se formuló el primer modelo matemático de un fenómeno biológico. Sin embargo, en la dinámica de poblaciones el primer modelo fue sin duda el Malthus, que expresa el crecimiento de una población a tasa constante. A partir de ese momento, el alcance y la sofisticación de los modelos matemáticos en dinámica de poblaciones, o en disciplinas cercanas como laepidemiología, se ha incrementado notablemente y han alcanzado grados considerables de refinamiento. Empero, es posible encontrar una secuencia lógica que nos indica la evolución conceptual de dichos modelos a partir del modelo de Malthus. Esa secuencia a menudo, pero no siempre, coincide con el desarrollo histórico o cronológico de la modelación matemática en dinámica de poblaciones. En estas notas, basadas enun trabajo del Prof. Guillermo Gómez, biomatemático mexicano, mostramos que la evolución de estos modelos se puede identificar con un proceso de debilitamiento de las hipótesis (acercamiento a la realidad), o supuestos generales que subyacen al proceso de modelaje, y que dicho proceso tiene límites reales impuestos por el carácter intrínsecamente impredecible de la naturaleza (primer hilo...