Modelos Matematicos Para La Comprencion De Enfermedades Contagiosas

Nombre: Camilo Betancur Meneses
Telecomunicaciones


Objetivo: Describir la importancia de los modelos matemáticos en la comprensión de la dinámica de transmisión de las enfermedades infecciosas, así como en el diseño de medidas eficaces de control.  Este trabajo explica de manera sinóptica los antecedentes, importancia y clasificación de los modelos matemáticos en padecimientos infecciosos. De modo adicional se describen con detalle algunos modelos comunes de transmisión de enfermedades y otros de uso más reciente que se utilizan en la modelación de trastornos infecciosos. 

El empleo de modelos matemáticos ha crecido en grado significativo enlos últimos años y son de gran ayuda para idear medidas eficaces de control y erradicación de las enfermedades infecciosas.

Principales modelos de transmisión de enfermedades infecciosas.

En los modelos epidemiológicos estándar se parte del supuesto de que los individuos se encuentran en uno de varios estados posibles. En función de dichos estados, la población puede incluirseen algunas categorías: individuos susceptibles (S), infectados (I) o removidos (R), etc. Los modelos más importantes son: SI, SIS y SIR, que pueden modelarse en forma determinista o estocástica y en todos ellos se asume que la interacción entre los individuos es aleatoria.9 La mejor manera de modelar las enfermedades infantiles consiste en emplear un modelo SIR puesto que la infección lleva a unainmunidad vitalicia. Para la mayor parte de las enfermedades de transmisión sexual (ETS) resulta más útil el modelo SIS, toda vez que tan sólo un número reducido de ETS confiere inmunidad tras la infección. El VIH es una excepción clara y todavía puede describirse de forma adecuada, al menos en el mundo occidental, mediante el modelo SI. A continuación se describen de modo sinóptico losmodelos SI, SIS y SIR bajo sus dos versiones: determinística y estocástica.
La ecuación 1 presenta el modelo SI en su versión determinística, es decir, como un modelo contínuo en su forma más simple, consistente en un sistema de dos ecuaciones diferenciales:

En la ecuación 1 aparecen dos variables dependientes: el número de personas susceptibles (S) y el número de personas infectadas (I). En este modelo,bajo su versión estocástica, cada individuo infeccioso tiene contacto con otro, escogido al azar, a una tasa l (contactos por unidad de tiempo). Por lo tanto, la variable aleatoria tk, tiempo transcurrido entre la infección del individuo k-1 y el individuo k, para k=1,2,3,…, tiene una distribución exponencial con parámetro l, una constante que no cambia con el tiempo.
Esto significa que lavariable aleatoria X(t), que se refiere al número de susceptibles e infectados al tiempo t, es un proceso Poisson homogéneo. Los estados del proceso al tiempo t se identifican por X(t)={S(t),I(t)}, esto es, el número de susceptibles e infectados al tiempo t. Por consiguiente, cuando hay I infectados y S susceptibles, las probabilidades de transición son:

Donde o (d) es una cantidad que tiende acero cuando d tiende a cero. Para cada valor de tiempo bajo ambos modelos N=S (t)+I(t), donde N es el tamaño de la población. Además, el significado de un contacto es cualquier actividad que resulta en la infección de un susceptible por un individuo infeccioso. También este modelo en ambas versiones es homogéneo para las personas, ya que se presupone que cada individuo tiene el mismo númeroesperado de contactos, de tal forma que es posible afirmar que el modelo presupone una interacción aleatoria. La solución a este modelo en ambas versiones traza una trayectoria en forma de S, según se muestra en la figura 1, debido a que el número de individuos infectados que puede transmitir la infección es bajo en las primeras etapas del proceso, mientras que el número de individuos susceptibles es...