MODELOS MATEMATICOS

Modelos matemáticos en los Procesos Industriales

Representación de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restricción se describen con expresiones matemáticas.

1. La Programación Lineal
Corresponde a un algoritmo a través del cual se resuelven situaciones reales en las que se pretende identificar y resolver dificultades para aumentar la productividad respecto a losrecursos (principalmente los limitados y costosos), aumentando así los beneficios. El objetivo primordial de la Programación Lineal es optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones lineales en varias variables reales con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal.
Es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar atomar decisiones. Es un modelo matemático con una función objetivo lineal, un conjunto de restricciones lineales variables no negativas. En el ambiente de negocios actual, pueden encontrarse gran cantidad de aplicaciones.


Para resolver un problema de programación lineal es recomendable seguir ciertos pasos que son:
Entender el problema a fondo.
Describir el objetivo.
Describir cadarestricción.
Definir las variables de decisión.
Escribir el objetivo en función de las varíales de decisión.

Escribir las restricciones en función de las variables de decisión.
Agregar las restricciones de no negatividad.


2. La regresión lineal o ajuste lineal
Es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorioε. Este modelo puede ser expresado como:

: variable dependiente, explicada o regresando.
: Variables explicativas, independientes o regresores.
: Parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.
Donde es la intersección o término "constante", las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y es el número de parámetros independientes atener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.
El modelo de regresión lineal
El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros desconocidos:
(2)
donde es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factoresde la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa, el hiperplano es una recta:
(3)
El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos , de modo que la ecuación quede completamenteespecificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).
(4)
Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, , son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar quecoinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en
(5)
Los valores son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.
Hipótesis modelo de regresión lineal clásico
Esperanza matemática nula.

Para cada valor de X la perturbación tomará distintos valores de forma aleatoria, pero no tomará sistemáticamente valores positivos o negativos, sino que se supone quetomará algunos valores mayores que cero y otros menores, de tal forma que su valor esperado sea cero.
Homocedasticidad.
para todo t
Todos los términos de la perturbación tienen la misma varianza que es desconocida. La dispersión de cada en torno a su valor esperado es siempre la misma.
Incorrelación. para todo t,s con t distinto de s
Las covarianzas entre las distintas pertubaciones son...