Modelos Matematicos

En el presente trabajo vamos a definir que son las ecuaciones lineales y también definiremos en que consisten los modelos matemáticos, luego al combinar ambos conceptos podremos ejemplificar como podemos utilizar ambos conceptos para desarrollar modelos matemáticos basados en ecuaciones lineales.

Como veremos posteriormente, los modelos matemáticos pueden ser muy sencillos o muy complejosdependiendo del tipo de situación que se quiera analizar y del tipo de herramientas matemáticas que se tengan disponibles.

El desarrollo de los modelos matemáticos tienen regularmente una misma metodología que varia un poco en relación al fenómeno que se esta estudiando.

Existen modelos matemáticos que utilizan conceptos avanzados de ingeniería para determinar el comportamiento de diversosfenómenos como las reacciones en la construcción de una estructura de una vivienda, o la simulación del comportamiento de los consumidores hacia determinada marca, o el nivel de flotación de un barco.

Sin embargo en este caso nos concentraremos en ejemplificar el uso de las ecuaciones lineales a la resolución de ciertos problemas.

Las Ecuaciones Lineales.

Una ecuación de primer grado oecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables (multiplicaciones) es decir una ecuación que solo involucra sumas y restas de una variable a la primera potencia.

En dos Incógnitas:
En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es:

Donderepresenta la pendiente y el valor de determina el punto donde la recta corta al eje y (la ordenada al origen).
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

Los Modelos Matemáticos.

Un modelo matemático emplea algún tipo de formula para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades, relaciones entre variables y operaciones, para estudiarcomportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.

También se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad.

Las relaciones matemáticas formales entre los objetos del modelo, deben representar dealguna manera las relaciones reales existentes entre las diferentes entidades o aspectos del sistema u objeto real. Una vez representado el problema en forma de modelo matemático, se pueden aplicar el cálculo, el álgebra y otras herramientas matemáticas para deducir el comportamiento del sistema bajo estudio.

Los modelos de cualquier clase, sin importar su refinamiento y exactitud, puedenprobar ser poco prácticos si no están respaldados con datos confiables. Si se distorsionan las estimaciones, la solución obtenida, pese a ser óptima en un sentido matemático, en realidad será de calidad inferior desde la perspectiva del sistema real. En consecuencia, la disponibilidad de datos puede tener un efecto directo en la precisión del modelo.

Por lo común los modelos matemáticos son deíndole iterativa es decir que se llega a la respuesta final en pasos o iteraciones y cada iteración acerca la solución al nivel óptimo, pero no todos los modelos matemáticos poseen algoritmos de solución que converjan al nivel óptimo por dos razones:

1. El algoritmo de solución converge al nivel óptimo solo en teoría. La convergencia teórica señala que hay un límite superior finito, pero sinindicar cuan alto puede ser ese límite. Por lo tanto, se puede gastar horas y horas de computadora sin alcanzar la iteración final.

2. La complejidad del modelo matemático puede hacer imposible idear un algoritmo de solución. Por lo tanto, el modelo puede mantenerse no factible en términos de cálculo

El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:

1. Encontrar un...