Modelos Matematicos
Páginas: 10 (2302 palabras)
Publicado: 16 de febrero de 2013
TEMA 2. MODELOS MATEMÁTICOS BASADOS EN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (E.D.O.)
1. Modelo exponencial
a) Teoría
b) Aplicados
Supongamos que [pic] va a representar la cantidad de individuos en el tiempo [pic] y quiero saber cómo encontrar este valor [pic], para ello establecemos hipótesis sobre el crecimiento de la población.
Es un modelo de dinámica de poblaciones.Ejemplo 1. Hipótesis [pic], es decir, el ritmo con el que cambia la población es directamente proporcional al número de individuos que hay en cada momento.
Como estamos en un modelo matemático, yo necesito un valor inicial [pic]. De manera que la ecuación más el valor inicial es un modelo matemático.
[pic]
[pic]
Ahora pongo el valor inicial:
[pic]
La fórmula sería: [pic]( Hay queaprendérsela de memoria.
Nota: En el examen, cuando el ejercicio diga aplica, utilizamos normalmente la fórmula [pic]; si dice el ejercicio que lo planteemos, hay que resolver la ecuación.
La representación gráfica sería la siguiente:
[pic]
Para que esta gráfica suceda así, [pic] tiene que ser positivo para que nos dé esta curva, ya que si [pic] es negativo la curva tiende a bajar pero sin cortar eleje, esto se conoce con el número de desintegración radiactiva cuando [pic] es negativo.
En los productos radiactivos, no nos dan el [pic] si no otro valor que es la vida media.
[pic]
Para encontrar la vida media, [pic]lo divido entre 2 y lo extrapolamos al tiempo.
Vamos a ver las pruebas de fechado de 14C: Los rayos cósmicos de la naturaleza chocan constantemente con los átomos de N,éstos irradian partículas y salen isótopos de 14C, que se constantemente en la naturaleza. Este 14C lo absorben los seres vivos y se degrada también en los seres vivos, de manera que se crea y se destruye en la misma cantidad. Cuando un individuo se muere ya no se crea 14C sino que sólo se destruye y realizamos un análisis de la proporción de 14C que tengo con respecto a la que debería tener que es lacantidad de 14C que hay en la naturaleza.
Ejercicio. Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene la milésima parte de la cantidad original de 14C. determinar la edad del fósil. Nota: Vida media del 14C es de 5.600 años.
[pic]
Yo tengo [pic]y [pic] como parámetros desconocidos de un modelo exponencial.
T= 5600 años.
[pic]
En este ejercicio [pic] siempre es más pequeño que [pic]porque se degrada.
1) Utilizamos la fórmula: [pic]
2) [pic]
3) Se puede quitar [pic]:
[pic]( [pic]
4) Quitamos e
[pic] Nota: [pic]es un valor negativo.
[pic]
[pic]
Quito [pic]:
[pic]
[pic]
2. Modelo exponencial modificado
Ejercicio. Escribir y resolver la siguiente ecuación que modeliza lo siguiente: El ritmo con que crece una población es cada momentoes directamente proporcional al número de individuos presentes y además de añaden 3 individuos en cada momento.
[pic] Es un modelo exponencial modificado porque le hemos añadido 3.
[pic]es una ecuación autónoma porque el tiempo no aparece en el segundo miembro.
La ecuación diferencial también se podría expresar como [pic] lo cual recuerda a [pic], es decir, a una ecuación lineal. Por lotanto se puede resolver como una ecuación lineal, pero también por el método de variables separadas. Siempre que se pueda resolver por variables separadas vamos a utilizar este método.
Resolvemos utilizando el método de variables separadas:
[pic]
[pic]
¿Qué le pasa a la población cuando [pic] sea muy grande? Va a depender del signo de
A) Si [pic]Crece sin límite
B) Si [pic] Lapoblación tiende al punto de equilibrio [pic]porque:
[pic]
Ejercicio 2. En una selva tropical el humus se forma en el suelo a razón de 10g/cm2 al año. Al mismo tiempo el humus se descompone a razón del 80% anual. Sea [pic]la cantidad de humus (en gramos/cm2) presente en el año “[pic]’. Plantear y resolver la ecuación diferencial que representa esta situación.
[pic] representa cómo...
1. Modelo exponencial
a) Teoría
b) Aplicados
Supongamos que [pic] va a representar la cantidad de individuos en el tiempo [pic] y quiero saber cómo encontrar este valor [pic], para ello establecemos hipótesis sobre el crecimiento de la población.
Es un modelo de dinámica de poblaciones.Ejemplo 1. Hipótesis [pic], es decir, el ritmo con el que cambia la población es directamente proporcional al número de individuos que hay en cada momento.
Como estamos en un modelo matemático, yo necesito un valor inicial [pic]. De manera que la ecuación más el valor inicial es un modelo matemático.
[pic]
[pic]
Ahora pongo el valor inicial:
[pic]
La fórmula sería: [pic]( Hay queaprendérsela de memoria.
Nota: En el examen, cuando el ejercicio diga aplica, utilizamos normalmente la fórmula [pic]; si dice el ejercicio que lo planteemos, hay que resolver la ecuación.
La representación gráfica sería la siguiente:
[pic]
Para que esta gráfica suceda así, [pic] tiene que ser positivo para que nos dé esta curva, ya que si [pic] es negativo la curva tiende a bajar pero sin cortar eleje, esto se conoce con el número de desintegración radiactiva cuando [pic] es negativo.
En los productos radiactivos, no nos dan el [pic] si no otro valor que es la vida media.
[pic]
Para encontrar la vida media, [pic]lo divido entre 2 y lo extrapolamos al tiempo.
Vamos a ver las pruebas de fechado de 14C: Los rayos cósmicos de la naturaleza chocan constantemente con los átomos de N,éstos irradian partículas y salen isótopos de 14C, que se constantemente en la naturaleza. Este 14C lo absorben los seres vivos y se degrada también en los seres vivos, de manera que se crea y se destruye en la misma cantidad. Cuando un individuo se muere ya no se crea 14C sino que sólo se destruye y realizamos un análisis de la proporción de 14C que tengo con respecto a la que debería tener que es lacantidad de 14C que hay en la naturaleza.
Ejercicio. Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene la milésima parte de la cantidad original de 14C. determinar la edad del fósil. Nota: Vida media del 14C es de 5.600 años.
[pic]
Yo tengo [pic]y [pic] como parámetros desconocidos de un modelo exponencial.
T= 5600 años.
[pic]
En este ejercicio [pic] siempre es más pequeño que [pic]porque se degrada.
1) Utilizamos la fórmula: [pic]
2) [pic]
3) Se puede quitar [pic]:
[pic]( [pic]
4) Quitamos e
[pic] Nota: [pic]es un valor negativo.
[pic]
[pic]
Quito [pic]:
[pic]
[pic]
2. Modelo exponencial modificado
Ejercicio. Escribir y resolver la siguiente ecuación que modeliza lo siguiente: El ritmo con que crece una población es cada momentoes directamente proporcional al número de individuos presentes y además de añaden 3 individuos en cada momento.
[pic] Es un modelo exponencial modificado porque le hemos añadido 3.
[pic]es una ecuación autónoma porque el tiempo no aparece en el segundo miembro.
La ecuación diferencial también se podría expresar como [pic] lo cual recuerda a [pic], es decir, a una ecuación lineal. Por lotanto se puede resolver como una ecuación lineal, pero también por el método de variables separadas. Siempre que se pueda resolver por variables separadas vamos a utilizar este método.
Resolvemos utilizando el método de variables separadas:
[pic]
[pic]
¿Qué le pasa a la población cuando [pic] sea muy grande? Va a depender del signo de
A) Si [pic]Crece sin límite
B) Si [pic] Lapoblación tiende al punto de equilibrio [pic]porque:
[pic]
Ejercicio 2. En una selva tropical el humus se forma en el suelo a razón de 10g/cm2 al año. Al mismo tiempo el humus se descompone a razón del 80% anual. Sea [pic]la cantidad de humus (en gramos/cm2) presente en el año “[pic]’. Plantear y resolver la ecuación diferencial que representa esta situación.
[pic] representa cómo...
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