Modelos matemáticos de crecimiento de poblaciones
Luis E. Castro-Solis
Resumen
En el presente ensayo se ejemplifica el proceso de creación de modelos matemáticos de poblaciones bajo lashipótesis de crecimiento lineal, exponencial y logístico. Se ilustra el procedimiento de solución por el método de transformada de Laplace y la expansión por fracciones parciales.
Modelo: CRECIMIENTOLINEAL
“La velocidad de crecimiento es constante”
dP/dt = K
Condición inicial: P(0) = Po
Solución
Separando variables
dP = K dt
Integrando
P = K t + C
Sustituyendo condicióninicial
Po = K(0) + C ( C = Po
Sustituyendo en la solución general:
P = K t + Po
Ejemplo.-
Po = 2
K = 0.5/[t]
[pic]
Modelo: CRECIMIENTO EXPONENCIAL
“La velocidad de crecimiento esproporcional a la población presente”
dP/dt = kP
Condición inicial: P(0) = Po
Solución
dP/dt – kP = 0
Transformando:
L(dP/dt)-L(kP) = L(0)
s F(S) – P(0) – k F(S) = 0
F(S) ( s– k) = Po
F(S) = Po / (s-k)
Antitransformando:
P(t) = Po exp(kt)
Ejemplo.-
Po = 10
k = 0.2/[t]
[pic]
Modelo: CRECIMIENTO LOGISTICO
“La velocidad de crecimiento esproporcional a la población presente y a la diferencia entre la población presente y la población de saturación”
dP/dt = KP(Psat-P)
Condición inicial: P(0) = Po
Solución
dP/dt – kP(Psat -P)= 0
Separando variables:
dP/P(Psat-P) = kdt
Aplicando expansión por fracciones parciales en el lado izquierdo
1/P(Psat-P) = A/P + B/(Psat-P) = [ A(Psat-P) + BP ] / P(Psat-P)
1 =(-A+B)P + APsat
APsat = 1 ( A = 1/Psat
-A+B = 0 ( B = 1/Psat
La ecuación diferencial separada queda:
(1/Psat) [ 1/P – 1/(P-Psat) ] dP = k dt
Integrando término a término (solución general)(1/Psat) ln |P/P-Psat| = kt + C
Sustituyendo la condición inicial (t = 0, P = Po)
(1/Psat) ln |Po/Po-Psat| = k(0) + C ( C = (1/Psat) ln |Po/Po-Psat|
Sustiuyendo C en la solución general:...
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