MODELOS MATEMÁTICOS Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

CAPITULO III.
MODELOS MATEMÁTICOS Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
Definición:
Se define la función de transferencia de un sistema de control lineal e
invariante en el tiempo, como la relación de la transformada de Laplace de la señal
de salida a la transformada de Laplace de la señal de entrada bajo la suposición
de que todas las condiciones iniciales son cero.
Considerar un sistema decontrol representado por la siguiente ecuación
diferencial

dn
d n 1
d n2
d
 y  t    a1 n 1  y  t    a2 n 2  y  t    ....  an 1  y  t    an  y (t ) 






n
dt 
dt
dt
dt
dm
d m1
d m2
d
b0 m  x  t    b1 m1  x  t    b2 m 2  x  t    ...  bm1  x  t    bm  x(t ) ,







dt 
dt
dt
dt

nm

En donde:y(t) = señal de salida, es el valor actual de la variable controlada
x(t) = señal de entrada, es la referencia o valor deseado
Para obtener la función de transferencia se obtiene la transformada de
Laplace de la ecuación diferencial suponiendo que las condiciones iniciales son
cero, considerando que:

 dn

L  a0 n  y  t     a0  s nY (s)  s n 1 y (0)  s n 2 y´(0) 


 dt


 sy  n2 (0)  y  n1 (0) 


Y así para cada uno de los términos de la ecuación diferencial.
Como las condiciones iniciales son cero entonces cada término de la
ecuación diferencial queda:

 dn

L  a0 n  y  t     a0 s nY ( s )


 dt

Por lo que la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es:

s nY ( s)  a1 s n 1Y (s)  a2 s n 2Y (s ) ....  an1 sY (s)  anY (s) 
b0 s m X ( s)  b1 s m1 X (s)  b2 s m2 X (s )  ...  bm1 sX (s )  bm X (s )
Factorizando la salida Y(s) y la entrada X(s)

Autor: Rocío Rodríguez Hernández

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 s n  a1 s n1  a2 s n2  ....  an1 s  an  Y (s)  b0 s m  b1 s m1  b2 s m2  ...  bm1s  bm  X (s)




y obteniendo la razón, entonces queda la función de transferenciacomo:

Y ( s) b0 s m  b1 s m1  b2 s m2  ...  bm1 s  bm
n
X ( s)
s  a1 s n 1  a2 s n 2  ....  an 1 s  an

La función de transferencia se utiliza para representar la dinámica de un
sistema por ecuaciones algebraicas en s. La potencia mas alta de s en el
denominador de la función de transferencia es igual al orden del termino de la
derivada mas alta de la salida. Si lapotencia mas alta de s es igual a n se dice que
se trata de un sistema de enésimo orden.

MODELOS MATEMÁTICOS
El modelo matemático de un sistema se refiere a las ecuaciones diferenciales e
integrales que representan el comportamiento dinámico del mismo.
Se verán los modelos matemáticos de tres tipos de sistemas:
a) Sistema mecánico de traslación
b) Sistema mecánico de rotación
c) Sistemaeléctrico

SISTEMAS MECÁNICOS DE TRASLACIÓN
Siguen la 2 ª Ley de Newton:
ma   f

Donde:
m = masa
a = aceleración
f =suma de fuerzas involucradas
Los componentes del sistema mecánico de traslación son tres: Resorte,
Amortiguador viscoso y masa, sus ecuaciones pueden verse en la tabla 1.
Donde:
K = Constante del resorte lineal
B = Coeficiente de fricción viscosa
M = Masa

Autor: RocíoRodríguez Hernández

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TABLA 1. SISTEMAS MECANICOS DE TRASLACION
Componente

Resorte

FuerzaVelocidad

x(t)

f(t)

FuerzaDesplazamiento

t

f (t )  K  v   d

f (t )  Kx(t )

Impedancia
Zm(s) = F(s)/X(s)

K

0

K

Amortiguador
Viscoso

f (t )  Bv(t )
x(t)

f (t )  B

dx(t )
dt

Bs

f(t)
B

Masa

f (t )  M

x(t)

dv(t )
dt

f(t)d 2 x(t )
f (t )  M
dt 2
Ms2

M

Autor: Rocío Rodríguez Hernández

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SISTEMAS MECÁNICOS DE ROTACIÓN
Los sistemas mecánicos de rotación también siguen la 2ª ley de Newton:
J   

En donde:
J = Masa inercial
 = aceleración angular
= Suma de torques involucrados
Tienen los mismos elementos que los sistemas mecánicos de traslación pero sus
ecuaciones difieren...