Modelos matemáticos

Sobre los modelos matemático-financieros para la valoración de los derivados financieros

Sobre los Modelos Matemático–Financieros para la
Valoración de los Derivados Financieros

Villalón, Julio G. y Martínez Barbeito, J.

RESUMEN
Durante los últimos 30 años los mercados financieros se han desarrollado enormemente. La
introducción de los derivados financieros tales como opciones yfuturos sobre subyacentes
(títulos, obligaciones, divisas, etc.) ha conducido a una nueva calidad de garantización de los
riesgos financieros. La valoración de los instrumentos financieros se basa en una teoría
matemática avanzada, llamada "cálculo estocástico Itô". El modelo básico asociado a un precio
aleatorio se describe mediante un movimiento Browniano y ecuaciones diferenciales. Por
ejemplo,la valoración de una opción call Europea mediante el modelo Black, Scholes y Merton
de 1973 fue un interesante avance en la comprensión y valoración de los derivados financieros.
Su enfoque ha llegado a ser la base para las matemáticas financieras modernas que utiliza
instrumentos avanzados tales como la "teoría de las martingalas y el control estocástico" para
obtener soluciones a lavaloración de un amplio y creciente número de derivados.
Palabras clave: Derivados financieros;

Cálculo Estocástico Itô; movimiento

Browniano; martingalas.
Área temática: Matemáticas Financieras y Actuariales
ABSTRACT
Over the last therteen years the financial markets have gone through an enormous development.
The introduction of financial derivatives such as options and futures on underlings(stocks,
bonds, currencies, etc.) has led to a new quality of the securitization of financial risks. The
pricing of this financial instruments is based on a advanced mathematical theory, called Itô
stochastic calculus. The basic model for an uncertain price is described by Brownian motion and
related defferential equations. For example, the pricing of a European call option by Black,
Scholesand Merton in 1973 was a breakthrough in the understanding become and valuing of
financial derivatives. Their approach has become the firm basis for modern financial
mathematics which uses advanced tools such as "martingale theory and stochastic control" to
find adequate solutions to the pricing of a world-wide enormously increasing number of
derivatives.
Keywords: Financial derivatives; ItôStochastic Calculus; Brownian movement;
martingale.
Thematic Area: Matematics Financial and Actuaries

XVIII Jornadas ASEPUMA – VI Encuentro Internacional
Anales de ASEPUMA nº 401

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Villalón, Julio G. y Martínez Barbeito, J.

1. INTRODUCCIÓN
Las matemáticas financieras modernas han llegado a tener uno de los más
recientes éxitos de las matemáticas y de la teoría de la probabilidad.En contraste con
muchos logros matemáticos que solamente han sido conocidos por los especialistas, el
modelo de valoración Black-Scholes (1973) ha logrado popularidad no solamente entre
prácticos en financiera. Su fama ha atraído la atención de economistas, físicos,
económetras, ingenieros de sistemas, estadísticos, etc.
Los modelos matemáticos se han utilizado en economía durante muchotiempo.
Por nuestra parte, haremos referencia al enfoque iniciado por F. Black (1938-1995), M.
S. Scholes (1941-) y R. C. Merton (1944-) que fue tan novedoso que Scholes y Merton
fueron galardonados con el premio Nóbel de Economía en 1997, dos años después de la
muerte de Fisher Black.
En 1973 se empezaron a negociar en la Bolsa de Chicago las llamadas
"opciones", "futuros" y otros "derivadosfinancieros". Black, Scholes y Merton
enfocaron el problema de la valoración de opciones de una forma física. Comenzaron
considerando un modelo adecuado para valorar un activo arriesgado. La investigación
(estadística, econométrica) empírica ha mostrado que los cambios de los precios en el
futuro son difícilmente predecibles mediante modelos matemáticos. En la bibliografía
económica este...