Modelos no lineales, caos y fractales

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Guía de trabajos prácticos número 4

MODELOS NO LINEALES, CAOS Y FRACTALES

1. Temas a tratar
• • • • La ecuación logística. Los exponentes de Lyapunov. Oscilaciones forzadas y el espacio de Lyapunov. Los fractales en la fisiología humana.

2. Objetivos
• • • • Ver en hechos como nace el caos a partir de sistemasdeterminísticos muy sencillos. Comprender la relación conceptual que une el caos con los fractales. Aplicar el método de los coeficientes de Lyapunov mediante una implementación computacional. Obtener una visión de la importancia de los sistemas no lineales caóticos en la fisiología y anatomía humana. • Analizar algunos ejemplos interesantes de la aparición de estructuras fractales en la naturaleza.

3.Revisión teórica
En esta sección no se pretende realizar un análisis teórico minucioso del tema, sólo refrescar algunos conceptos básicos necesarios para la realización del trabajo práctico.

3.1 Caos
Generalmente el hombre tiende a tratar con situaciones estables, que no varían en el tiempo o si lo hacen, que estas variaciones estén en torno a las situaciones precedentes. Esta búsqueda de unacierta estabilidad hace que tomemos ciertas actitudes frente a fenómenos no estables: si los cambios duran muy poco tiempo en relación a los períodos estables los ignoramos, si los cambios duran un cierto tiempo tratamos de encontrar alguna regularidad en ellos y de no encontrar ningún patrón estable los encasillamos dentro de los ruidos. La teoría del caos retoma estos últimos casos para dejar deestudiar ciertos mal clasificados ruidos desde el punto de vista estable, es decir, dejar de analizar sólo algunos parámetros estables dentro del fenómeno como lo hacíamos mediante el análisis estadístico. Ciertos sistemas no lineales muestran un comportamiento, bajo ciertas condiciones, impredecible a pesar de no tener ninguna influencia del azar y ser enteramente determinísticos. Llamativamenteesto puede suceder en sistemas extremadamente simples. En estos sistemas no lineales puede identificarse un parámetro del cual depende su comportamiento. Cuando este parámetro cambia podemos encontrarnos con un comportamiento ordenado (puntos fijos o ciclos límite en el espacio de fase) o desordenado o turbulento (atractores extraños en el espacio de fase).
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3.2 Del orden al caos: Bifurcaciones
Cuando variamos continuamente este parámetro característico del sistema encontramos que existe un período en el que el sistema pasa de la estabilidad al caos. Los análisis de las formas en que se produce tal transición han llevado a la clasificación en rutas al caos. Una de las rutas más estudiadas es la deduplicación de período o bifurcaciones en horquilla. Las bifurcaciones en horquilla consisten en una pérdida de la estabilidad de una solución atractiva dando lugar a otra de periodicidad doble.

3.3 Sistemas dinámicos y ecuaciones en recurrencia.
Computacionalmente hablando simularemos la evolución de un sistema dinámico mediante fórmulas de recurrencia obtenidas a partir de las ecuacionesdiferenciales que lo describen. Estas fórmulas de recurrencia pueden obtenerse aplicando alguno de los métodos de resolución numérica de ecuaciones diferenciales de paso simple o por medio del pasaje a ecuaciones en diferencia. Podemos expresar en forma genérica la solución de una ecuación diferencial de primer orden y tiempo discreto mediante la siguiente fórmula: x n+1 = F ( x n ) Si la función Fdepende de algún parámetro de importancia k aparte del valor de la variable independiente en la iteración anterior notamos: x n+1 = Fk ( x n ) Un punto fijo en una ecuación en diferencias es aquel en el que xn+1= xn para todo n que un N dado. Estas aclaraciones serán suficientes para el desarrollo del práctico.

3.4 Los mapas iterados
Una forma de representar la evolución de un sistema dinámico...