Modelos Para Fluidos No newtoniaNos

MODELOS PARA FLUIDOS NO NEWTONIANOS
PROBLEMA:
Se tiene los siguientes datos:
τrθ(Nm2) | 3.36 | 4.36 | 5.94 | 7.59 | 9.48 | 11.86 | 14.56 | 19.24 | 27.67 |
-dVθdr(s-1) | 7.33 | 9.67 | 13.94 | 18.72 | 24.63 | 32.86 | 43.35 | 62.93 | 84.50 |

SOLUCIÓN:
Graficando los datos dados en la tabla, se obtiene:

De la gráfica se observa que se trata de unFluido no Newtoniano, ya que los datos graficados no obedecen a una recta (fluido newtoniano).

A) Modelo de Ostwald:

τrθ=-mdVθdrn-1*dVθdr

Para ajustar los datos al modelo usaremos la siguiente función objetiva:
S=i=1n(yi-yi)2
Donde:
yi: Valor observado.
yi: Valor estimado por el modelo.
Además:
yi=ڂ
yi=ڂ=-mdVθdrn-1dVθdr
Como para los datos dados tenemos:
dVθdr<0
Según estarestricción se tiene:
yi=ڂ=m-dVθdrn-1.-dVθdr
yi=ڂ=m-dVθdrn
Hacemos que:
xi=-dVθdr
Se obtiene la siguiente tabla:
Tabla1:
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
xi(τrθ) | 3.36 | 4.36 | 5.94 | 7.59 | 9.48 | 11.86 | 14.56 | 19.24 | 27.67 |
yi(-dVθdr) | 7.33 | 9.67 | 13.94 | 18.72 | 24.63 | 32.86 | 43.35 | 62.93 | 84.50 |

Lafunción objetiva indicada quedaría de la siguiente forma:
S=i=1n(yi-m-dVθdrn)2
S=i=1n(yi-m.xin)2
Esta función derivamos con respecto a los parámetros obteniendo las siguientes ecuaciones.
i. Con respecto “m”
dSdm=2i=1nyi-m.xin(-xi)
dSdm=-2i=1nyi-m.xin(xi)
dSdm=-2i=1nyi.xi-m.xin+1=0……(1)
De acuerdo a la tabla 1:
* Para i =1
7.33×3.36-m×7.33n+1
* Para i =2
9.67×4.36-m×9.67n+1
*Para i =3
13.94×5.94-m×13.94n+1
* Para i =4
18.72×7.59-m×18.72n+1
* Para i =5
24.63×9.48-m×24.73n+1
* Para i =6
32.86×11.86-m×32.86n+1
* Para i =7
43.35×14.56-m×43.35n+1
* Para i =8
62.93×19.24-m×62.93n+1
* Para i =9
84.5×23.67-m×84.5n+1

Reemplazando en la expresión (1), se obtiene la primera ecuación.

ii. Con respecto “n”
dSdm=2i=1nyi-m.xin(-m.xin.lnxi)dSdm=-2.mi=1nyi-m.xin(xin.lnxi)=0……(2)

De acuerdo a la tabla 1:
* Para i = 1
7.33n×ln7.333.36-m×7.33n
* Para i = 2
9.67n×ln9.674.36-m×9.67n
* Para i = 3
13.94n×ln13.945.94-m×13.94n
* Para i = 4
18.72n×ln18.727.59-m×18.72n
* Para i = 5
24.63n×ln24.639.48-m×24.63n
* Para i = 6
32.86n×ln32.8611.86-m×32.86n
* Para i = 7
43.35n×ln43.3514.56-m×43.35n
* Para i = 862.93n×ln62.9319.24-m×62.93n
* Para i = 9
84.5×ln84.523.67-m×84.5n
Reemplazando en la expresión (2), se obtiene la segunda ecuación.

Para hallar los valores de los parámetros hay que resolver el sistema de dos ecuaciones no lineales.

Para obtener los valores iníciales tomamos como fluido newtoniano:
m=µ ; n=1

Para hallar la viscosidad graficamos los valores dados en latabla y realizamos un ajuste lineal:

Se observa el valor de la pendiente:
m=µ=0.263

Para resolver este tipo de sistema se usara el programa de polymath:

Donde se obtiene:

| Variable | Valor | f(m) | Valor inicial |
1 | m | 0.7797432 | -3.375E-12 | 0,263 |
2 | n | 0.7725272 | -2.77E-13 | 1 |

Sistema de Ecuaciones:
1 | f(m) =-2 * ((7.33 * 3.36 - m * (7.33 ^ (n + 1))) +(4.36 * 9.67 - m * (9.67 ^ (n + 1))) + (5.94 * 13.94 - m * (13.94 ^ (n + 1))) + (7.59 * 18.72 - m * (18.72 ^ (n + 1))) + (9.48 * 24.63 - m * (24.63 ^ (n + 1))) + (11.86 * 32.86 - m * (32.86 ^ (n + 1))) + (14.56 * 43.35 - m * (43.35 ^ (n + 1))) + (19.24 * 62.93 - m * (62.93 ^ (n + 1))) + (23.67 * 84.50 - m * (84.50 ^ (n + 1))))= 0 |
2 | f(n) =-2 * m * ((3.36 - m * (7.33 ^ n)) * ((7.33 ^ n) *ln(7.33)) + (4.36 - m * (9.67 ^ n)) * ((9.67 ^ n) * ln(9.67)) + (5.94 - m * (13.94 ^ n)) * ((13.94 ^ n) * ln(13.94)) + (7.59 - m * (18.72 ^ n)) * ((18.72 ^ n) * ln(18.72)) + (9.48 - m * (24.63 ^ n)) * ((24.63 ^ n) * ln(24.63)) + (11.86 - m * (32.86 ^ n)) * ((32.86 ^ n) * ln(32.86)) + (14.56 - m * (43.35 ^ n)) * ((43.35 ^ n) * ln(43.35)) + (19.24 - m * (62.93 ^ n)) * ((62.93 ^ n) * ln(62.93)) + (23.67...