Modelos Probabilisticos

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA

VARIABLES ALEATORIAS

A.- INTRODUCCIÓN
La naturaleza de un experimento aleatorio puede ser de cualquier índole y de acuerdo a esta
también sus resultados, en la practica esto tiene como consecuencia que los resultados de un
experimento aleatorio no necesariamente sonnuméricos, lo que en la mayoría de las veces dificulta
el análisis, ya sea por que se requiere del uso de notaciones engorrosas y/o por la poca operatividad
de elementos no numéricos. Esta situación se simplifica cuando se encuentra el medio para
relacionar cualquier resultado de un experimento aleatorio con una medida cuantitativa expresada a
través de un numero real, este medio es lo que sedenomina variable aleatoria.

B.- EL CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA:
Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio ε, una variable
aleatoria es una función definida de Ω en ℝ que transforma los resultados de ε en puntos
sobre la recta real.

X: Ω

R

ω

X( ω ) = x

Gráficamente:

Ω

x

ω

X (ω) = x

ℝ

Obs:
El concepto formal de variable aleatoria, expresadocomo función puede
resultar contradictorio, por que además es una variable. Sin embargo éste sólo se utiliza para
dejar establecido que la asignación hecha sobre cada punto muestral es única.
Si en algunas situaciones particulares, se tiene que los resultados del experimento
aleatorio son numéricos, entonces la variable aleatoria “trivial” esta dada por la función
identidad.
X(ω) = ω
Paraun mismo experimento aleatorio se pueden definir distintas variables aleatorias,
dependiendo esto sólo de las situaciones que se quieran modelar.
NOTA: En adelante para referirnos a una variable aleatoria usaremos la abreviatura v.a.
DEFINICIÓN:
Si X es una v.a. definida de Ω en ℝ, su recorrido es el subconjunto de todos los

números reales que son imagen de algún punto muestral, el quedenotaremos por ℝx y que
formalmente podemos escribir como:
MODELOS PROBABILÍSTICOS

PROFESOR: HUGO GONZÁLEZ A.
Página Nº 1

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DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA

ℝx ={x ∈ ℝ/x = X(ω) ; ω ∈ Ω}
Ejemplo 1
Para cada uno de los experimentos aleatorios dados a continuación y sus
correspondientes espaciosmuestrales, pueden considerar entre otras las siguientes variables
aleatorias:
1. ε1 : Lanzar una moneda al aire.
Su correspondiente espacio muestral es
Una v.a. en este caso puede ser:

x=

Ω = {c,s}

1 si en la moneda aparece sello
0 si en la moneda aparece cara

y su recorrido dado implícitamente en la definición de x es ℝx = { 0 ,1 }
2. ε 2 : Tres lanzamientos de una moneda.
Sucorrespondiente espacio muestral es :
Ω = { (c, c, c) , (c, c, s) , (c, s, c) , (s, c, c) , (c, s, s, ) , (s, c, s) , (s, s, c) , (s, s, s) }
a)
si definimos la v.a. x como:
X = “Nº de caras obtenidas”
entonces su recorrido es ℝx = {0,1,2,3}

b)

otra v.a. para este espacio puede ser:

x=

1 todos los resultados son iguales
0 si al menos un resultado es dist int o

3. ε 3 : Realizar unainversión en la bolsa de valores.
Su correspondiente espacio muestral es:
Ω = {ganar, perder, mantener}
Una variable aleatoria para esta situación podemos definirla como:
− 1 si pierde
x=

donde ℝx =

{ − 1, 0,1}

0 si mantiene
1 si gana

IMPORTANTE:
Debemos tener presente que una v.a. puede tener un carácter numérico
propiamente tal ( la idea intuitiva de valor asociada a unguarismo) o simplemente un
carácter de indicador (pseudo numérico), es decir, la utilización de un número para
identificar las distintas categorías de una variable, así en el ejemplo anterior, podemos
observar que en los casos 1), 2-a) y 3) la v.a definida tiene el carácter de indicador,
mientras que en el caso 2-b) la variables es numérica propiamente tal.
OBS:
el recorrido de una variable...