Modelos

Teoría de Colas
Problema 1 M/M/1
Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de
diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a
una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución
Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. Realice un análisis acercade la situación actual del Banco.
Solución:
=10 clientes/hora
=/=7/10=0.7

=7 clientes/hora s=1 (una estación de servicio)

Po=1-0.7=0.3

L


 



7
7
  2.33
10  7 3

2
72

 1.63
 (    ) 10 (10  7)
1
1
1
W

  0.33
   10  7 3

7
Wq 

 0.233
 (    ) 10 (10  7)
Lq 

Según los datos obtenidos el sistema está ocupado el70% del tiempo, vacío el 30% del
tiempo; en promedio hay 2.33 clientes en el sistema y 1.63 en la cola; el tiempo promedio
de un cliente en el sistema de 0.33 horas = 20 minutos y un tiempo promedio de un cliente
en la cola de 0.233 horas = 14 minutos.
Problema 2. M/M/s
Suponga que se coloca un segundo cajero bancario en el problema antes descrito. ¿Qué
tanto se mejorará el servicio? De susconclusiones y recomendaciones para el Banco.
Solución:
s=2 número de servidores

=7 clientes/hora

=10 clientes/hora


7

 0.35
k 2(10 )
1
1
Po 

 0.48148
0
1
2
1  0.7  0.3769
7 7 7
     
 10    10    10   1 


0!
1!
2!  1  0.35 


L

7(10 )( 7 / 10 ) 2
(0.48148 )  7 / 10  0.7977 clientes en el sistema
(2  1)! (2(10 ) 7) 2

Lq = 0.7977 – 7/10 =0.0977 clientes en cola
W=L/=0.7977/7=0.11396 horas

Wq=Lq/ =0.0977/7=0.01396 horas

Con dos cajeros las estadísticas de los clientes mejoraran dramáticamente. Ahora se tiene
un promedio de solamente 0.0977 clientes en la línea y el cliente esperara en promedio
solamente 0.0139 horas para recibir el servicio (menos de un minuto). El costo de este
buenservicio es que los prestadores de éste solamente están ocupados durante el 35% de
su tiempo. A menos que se desee un servicio extraordinariamente bueno el banco no
deseará incurrir en el gasto de un segundo cajero. Puede tomarse en consideración en las
horas pico.
Problema 3. M/M/s
En un restaurante se vende comida para llevar y tratan de determinar cuántos servidores o
colas deben trabajar elturno del almuerzo. Durante cada hora llegan en promedio 100
clientes al restaurante. Cada cola puede manejar en promedio 50 clientes por hora. Un
servidor cuesta 5 $/hora y se carga un costo de 20 $ por cada cliente que espere en la cola
durante 1 hora. Calcule el número de colas que minimice el costo.
Solución:
=100 clientes/hora

=50 clientes/hora

1 servidor ------- 5 $/hora
sservidores ------ 5s

20 $ por cada cliente que espera en la cola por hora = 20*Wq
Costo total = 5s + 20Wq $/hora
s=?



100
1
50s

=100/2(50)=1

2
1
s

s>2

3, 4,.... 

pero 1

Aunque se realice el cálculo con s=2 los resultados serían colas infinitas.
Se deja al estudiante que lo compruebe.
Con s=3
=100/3(50)=2/3=0.667
2
1
(100 / 50 ) 0 (100 / 50 )1 (100 / 50 )2
A


 1 2  2  5
0!
1!
2!
A B
n 0
(100 / 50 ) 3 
1

B

4
3!
1

0
.
667


1
1
Po 
  0.111
54 9
(100 )(50 )(100 / 50 ) 3
26
L
(1 / 9)  (100 / 50 ) 
 2.89
2
3  1!(3(50 )  100 )
9

Po 

Lq = 2.89 – 100/50 = 0.89
W =L/ = 2.89/100 = 0.0289 horas = 1.73 minutos
Wq = Lq /  = 0.89/100=0.0089 horas
CT=5(3) + 20(0.0089)=15.18$/hora
Con s=4
Al utilizar s=4 servidores el costo de servidores es 5*4 = 20 y por lo tanto mayor que el
costo total con 3 tres servidores. Obviamente ya no es necesario calcular el costo de
espera. En conclusión, se deben tener 3 Servidores.

Problema 4. M/M/1
Se están llevando a cabo planes para la expansión de una pequeña empresa. La capacidad
actual es de 6 pedidos promedio por turno....