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Prueba de Bondad de Ajuste de Kolmogorov-Smirnov (KS)
Hipótesis a contrastar: H0: Los datos analizados siguen una distribución M. H1: Los datos analizados no siguen una distribución M. Estadístico de contraste:

ˆ D = sup Fn ( xi ) − F0 ( xi )
1≤i ≤ n

donde: • xi es el i-ésimo valor observado en la muestra (cuyos valores se han ordenado previamente de menor a mayor). ˆ • Fn ( xi ) es unestimador de la probabilidad de observar valores menores o iguales que xi. • F0 ( x ) es la probabilidad de observar valores menores o iguales que xi cuando H0 es cierta. Así pues, D es la mayor diferencia absoluta observada entre la ˆ frecuencia acumulada observada Fn ( x ) y la frecuencia acumulada teórica F0 ( x ) , obtenida a partir de la distribución de probabilidad que se especifica comohipótesis nula.
ˆ Si los valores observados Fn ( x ) son similares a los esperados F0 ( x ) , el valor de D será pequeño. Cuanto mayor sea la ˆ discrepancia entre la distribución empírica F ( x ) y la distribución
n

teórica , mayor será el valor de D.

Por tanto, el criterio para la toma de la decisión entre las dos hipótesis será de la forma: Si D≤Dα ⇒ Aceptar H0 Si D>Dα ⇒ Rechazar H0 donde elvalor Dα se elige de tal manera que:

P (Rechazar H0 H0 es cierta) =

= P ( D > Dα Los datos siguen la distribucion M) = α

siendo α el nivel de significación del contraste. Para el cálculo práctico del estadístico D deben obtenerse:

i  D + = max  − F0 ( xi )  , 1≤i ≤ n n 
y a partir de estos valores:

i − 1  D − = max  F0 ( xi ) −  1≤i ≤ n n  

D = max {D + , D − }

Asu vez, el valor de Dα depende del tipo de distribución a probar y se encuentra tabulado. En general es de la forma:

cα k ( n) donde cα y k(n) se encuentran en las tablas siguientes: Dα =
Modelo General Normal Exponencial Weibull n=10 Weibull n=20 Weibull n=50 Weibull n= ∞ cα 0.1 1.224 0.819 0.990 0.760 0.779 0.790 0.803 α 0.05 1.358 0.895 1.094 0.819 0.843 0.856 0.874 0.01 1.628 1.035 1.3080.944 0.973 0.988 1.007

DISTRIBUCIÓN QUE SE CONTRASTA General. Parámetros conocidos. Normal Exponencial Weibull

k(n)

k (n) = n + 0.12 +
k ( n) = n − 0.01 +

0.11 n 0.85
n 0.11

k (n) = n + 0.12 +
k ( n) = n

n

Ejemplo 1:
Determinar si los valores de la primera columna se conforman a una distribución normal:
Y 6.0 2.3 4.8 5.6 4.5 3.4 3.3 1.9 4.8 4.5 Y-ordenados 1.9 2.3 3.33.4 4.5 4.5 4.8 4.8 5.6 6.0 Orden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F Z 0.1 -1.628 0.2 -1.332 0.3 -0.592 0.4 -0.518 0.5 0.296 0.6 0.296 0.7 0.518 0.8 0.518 0.9 1.11 1.0 1.406 Fo 0.051 0.091 0.276 0.302 0.616 0.616 0.698 0.698 0.867 0.920 D+ 0.049 0.109 0.024 0.098 -0.116* -0.016 0.002 0.102 0.033 0.080 D0.051 -0.009 0.076 0.002 0.216* 0.116 0.098 -0.002 0.067 0.020

(media: 4.1 varianza: 1.82)
Dα = 0.895 10 −0.01 + 0.85 10 = 0.895 = 0.262 3.42

Como el valor D = 0.216 < 0.262, no se rechaza H0 y se acepta que los datos se distribuyen normalmente.

Modo alternativo de realizar la prueba de Kolmogorov Smirnov.
La toma de la decisión en el contraste anterior puede llevarse a cabo también mediante el empleo del p-valor asociado al estadístico D observado. El p-valor se define como:
p-valor = P ( D> Dobs H 0 es cierta )

Si el p-valor es grande significa que, siendo cierta la hipótesis nula, el valor observado del estadístico D era esperable. Por tanto no hay razón para rechazar dicha hipótesis. Asimismo, si el p-valor fuera pequeño, ello indicaría que, siendo cierta la hipótesis nula, era muy difícil que se produjera el valor de D que efectivamente se ha observado. Ello obliga a ponermuy en duda, y por tanto a rechazar, la hipótesis nula. De esta forma, para un nivel de significación α, la regla de decisión para este contraste es: Si p-valor ≥ α ⇒ Aceptar H0 Si p-valor < α ⇒ Rechazar H0 Obviamente, la obtención del p-valor requiere conocer la distribución de D bajo la hipótesis nula y hacer el cálculo correspondiente. En el caso particular de la prueba de Kolmogorov Smirnov,...