modo común
Páginas: 8 (1803 palabras)
Publicado: 7 de noviembre de 2013
Lectura 7
Análisis Grá…co de Bode
Un Diagrama de Bode (DB) está compuesto por un conjunto de dos grá…cas:
a) La grá…ca de la magnitud de en decibeles, dB, contra la frecuencia donde ésta última se
( )
encuentra en escala logaritmica
b) La grá…ca del ángulo de fase ] en grados, contra la frecuencia en escala logaritmica
( ),
Comúnmente las grá…cas que componen al DB sepresentan como se muestra en la …gura (7.1), en donde
las abscisas de ambas grá…cas se encuentran en escala logarítmica, cada división logarítmica se hace en
factores de 10 conocidos como décadas (por esto al DB también se le conoce como diagrama logarímico).
7.1.
Proceso de construcción
El primer paso para obtener la grá…ca de Bode a partir de una FTF es reescribir dicha función
( )
enla forma factorial siguiente
h
i
2
( )(1 + )(1 + ¢ ¢ ¢ 1 + 2 2 ( )2
1 )
2 +
h
i
=
( )
(7.1)
2
(1 + )(1 + ¢ ¢ ¢ 1 + 2 + 2 ( )2
1 )
2
donde los factores del numerador y del denominador pueden ser repetidos. La ventaja de la forma dada en
(7.1) es que permite construir el DB a partir de los DB individuales de cadafactor. Por ejemplo, considere
la siguiente FTF
4 (1 + ) (1 + )
8
6
=
( )
(1 + ) (1 + )
2
24
la cual, por simplicidad, puede reescribirse como
=
( )
4 ( ) ( )
1 2
( ) ( )
3 4
donde ( ) = (1 + ), ( ) = (1 + ), ( ) = (1 + )¡1 y ( ) = (1 + )¡1. Como ya
8 2
6 3
2
24
1
4
se mencionó, la escala decimal que seasigna a la magnitud j está en decibeles y se calcula mediante
( )j
la siguiente fórmula
j = 20 log10 (j
( )j
( )j)
(7.2)
entonces
µ
¶
4 ( ) ( )
1 2
j = 20 log 10
( )j
( ) ( )
3 4
= 20 log 10(4) + 20 log10 ( ( )) + 20log10 ( ( ))
1
2
¡20log10 ( ( )) ¡ 20log10 ( ( ))
3
4
53
LECTURA 7 ANÁLISIS GRÁFICO DE BODE
54Bo d e Dia g r a m
Magnitude (dB)
0
-20
-40
-60
-80
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-2
10
10
-1
10
0
10
1
10
2
Fr e q u e n c y ( r a d /s e c )
Figura 7.1: Formato e n el c ual son elaboradas las grá…cas de Bode de un siste ma lineal e invariante en el tie mp o.
7.1 PROCESO DE CONSTRUCCIÓN
55
Bode Diagram
Bode Diagram41
41
K
cd
K
=100
40
=
100
40
39.5
39
1
39
181
0.5
180.5
Phas e (deg)
39.5
Phas e (deg)
cd
40.5
Magnitude (dB )
Magnitude (dB )
40.5
0
-0.5
180
179.5
-1
179
10
50
10
100
Frequency (rad/sec)
10
50
10
100
Frequency (rad/sec)
Figura 7.2: Diagramas de Bode para = 100 y = ¡100respectivamente.
Así, la grá…ca de la magnitud en decibeles del sistema es igual a la suma de la magnitud en
( )
decibeles de todos los factores dinámicos del sistema más la magnitud en decibeles de la ganancia La
.
grá…ca del ángulo de fase puede construirse de manera similar, ya que el ángulo ] es igual a la suma
( )
de los ángulos de cada uno de los factores dinámicos.
Nóteseentonces que, para construir el DB de cualesquier sistema lineal, es necesario conocer el DB de
cada uno de los factores dinámicos.
7.1.1.
Diagrama de Bode de la ganancia
La magnitud de es simplemente
j j = 20 log10 (j j)
Por ser constante, su grá…ca de magnitud y de fase son rectas horizontales
Si 1 entonces j j 0
Si 1 entonces j j0
Si 0 entonces ] = 0±
Si 0 entonces ] = 180±
La grá…ca de Bode de = 100 y = ¡100 puede observarse en la …gura siguiente.
7.1.2.
Factores integrales y derivativos
La magnitud de factores de la forma ( )§ donde el número de veces en que se repite el factor, en
,
es
decibeles es
¯
¯
20log10 ¯ ( )§ = §20 j
¯
log j
(7.3)...
Análisis Grá…co de Bode
Un Diagrama de Bode (DB) está compuesto por un conjunto de dos grá…cas:
a) La grá…ca de la magnitud de en decibeles, dB, contra la frecuencia donde ésta última se
( )
encuentra en escala logaritmica
b) La grá…ca del ángulo de fase ] en grados, contra la frecuencia en escala logaritmica
( ),
Comúnmente las grá…cas que componen al DB sepresentan como se muestra en la …gura (7.1), en donde
las abscisas de ambas grá…cas se encuentran en escala logarítmica, cada división logarítmica se hace en
factores de 10 conocidos como décadas (por esto al DB también se le conoce como diagrama logarímico).
7.1.
Proceso de construcción
El primer paso para obtener la grá…ca de Bode a partir de una FTF es reescribir dicha función
( )
enla forma factorial siguiente
h
i
2
( )(1 + )(1 + ¢ ¢ ¢ 1 + 2 2 ( )2
1 )
2 +
h
i
=
( )
(7.1)
2
(1 + )(1 + ¢ ¢ ¢ 1 + 2 + 2 ( )2
1 )
2
donde los factores del numerador y del denominador pueden ser repetidos. La ventaja de la forma dada en
(7.1) es que permite construir el DB a partir de los DB individuales de cadafactor. Por ejemplo, considere
la siguiente FTF
4 (1 + ) (1 + )
8
6
=
( )
(1 + ) (1 + )
2
24
la cual, por simplicidad, puede reescribirse como
=
( )
4 ( ) ( )
1 2
( ) ( )
3 4
donde ( ) = (1 + ), ( ) = (1 + ), ( ) = (1 + )¡1 y ( ) = (1 + )¡1. Como ya
8 2
6 3
2
24
1
4
se mencionó, la escala decimal que seasigna a la magnitud j está en decibeles y se calcula mediante
( )j
la siguiente fórmula
j = 20 log10 (j
( )j
( )j)
(7.2)
entonces
µ
¶
4 ( ) ( )
1 2
j = 20 log 10
( )j
( ) ( )
3 4
= 20 log 10(4) + 20 log10 ( ( )) + 20log10 ( ( ))
1
2
¡20log10 ( ( )) ¡ 20log10 ( ( ))
3
4
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LECTURA 7 ANÁLISIS GRÁFICO DE BODE
54Bo d e Dia g r a m
Magnitude (dB)
0
-20
-40
-60
-80
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-2
10
10
-1
10
0
10
1
10
2
Fr e q u e n c y ( r a d /s e c )
Figura 7.1: Formato e n el c ual son elaboradas las grá…cas de Bode de un siste ma lineal e invariante en el tie mp o.
7.1 PROCESO DE CONSTRUCCIÓN
55
Bode Diagram
Bode Diagram41
41
K
cd
K
=100
40
=
100
40
39.5
39
1
39
181
0.5
180.5
Phas e (deg)
39.5
Phas e (deg)
cd
40.5
Magnitude (dB )
Magnitude (dB )
40.5
0
-0.5
180
179.5
-1
179
10
50
10
100
Frequency (rad/sec)
10
50
10
100
Frequency (rad/sec)
Figura 7.2: Diagramas de Bode para = 100 y = ¡100respectivamente.
Así, la grá…ca de la magnitud en decibeles del sistema es igual a la suma de la magnitud en
( )
decibeles de todos los factores dinámicos del sistema más la magnitud en decibeles de la ganancia La
.
grá…ca del ángulo de fase puede construirse de manera similar, ya que el ángulo ] es igual a la suma
( )
de los ángulos de cada uno de los factores dinámicos.
Nóteseentonces que, para construir el DB de cualesquier sistema lineal, es necesario conocer el DB de
cada uno de los factores dinámicos.
7.1.1.
Diagrama de Bode de la ganancia
La magnitud de es simplemente
j j = 20 log10 (j j)
Por ser constante, su grá…ca de magnitud y de fase son rectas horizontales
Si 1 entonces j j 0
Si 1 entonces j j0
Si 0 entonces ] = 0±
Si 0 entonces ] = 180±
La grá…ca de Bode de = 100 y = ¡100 puede observarse en la …gura siguiente.
7.1.2.
Factores integrales y derivativos
La magnitud de factores de la forma ( )§ donde el número de veces en que se repite el factor, en
,
es
decibeles es
¯
¯
20log10 ¯ ( )§ = §20 j
¯
log j
(7.3)...
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