Modulo 1 matematicas

MÓDULO I: Inecuaciones y Funciones.


RELACIÓN DE ORDEN.
Definición: Sean , se definen y denotan las relaciones “mayor que” y “menor que” como:
1.
2.
Observación:
1. Se define y denota la relación “mayor o igual que” como: o su equivalente
2. Se define y denota la relación “menor o igual que” como: o su equivalente
PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE ORDEN
Teorema #1: Sean , entoncesse cumple una y sólo una de las siguientes condiciones: (Ley de Tricotomía)
Teorema #2: Si y , entonces: y
Teorema #3: Si y , entonces: (Propiedad transitiva de la Relación de orden)
Teorema #4: Si , entonces:
Teorema #5: Si y , entonces:
Teorema #6: Si y , entonces:
Teorema #7: Si o , entonces:
Observación: Los teoremas son validos para las relaciones de orden , yINTERVALOS.
1.- 2.-
3.- 4.-
5.- 6.-
7.- 8.-
9.-
VALOR ABSOLUTO.
Definición: Si , entonces el valor absoluto de a, el cual denotaremos por se define como
Observación: De la definición se tiene que:
1.- 2.- 3.- 4.-
Teorema #8: Para todo número real se cumple que:1.- 2.-
3.- 4.-
Teorema #9: Sean y , entonces:
1.- 2.- 3.- 4.-
5.- (Desigualdad Triangular) 6.-
7.-
INECUACIONES.
Definición: Una Inecuación es una relación de orden que contiene variables y constante tal que su solución es un subconjunto de números reales. Existen Inecuaciones Lineales, cuadráticas,polinómicas, racionales, con valor absoluto entre otros, las cuales determinaremos la solución aplicando el método de Sturm (Jacques Charles François Sturm (1.803-1.855), matemático Suizo-francés quien hizo importantes contribuciones a la Teoría de Ecuaciones).
FUNCIONES.
Definición: Sean y dos conjuntos cualesquiera diferentes de vacío. Se dice que es una función de un conjunto en un conjunto si a cadaelemento del conjunto le corresponde un único elemento del conjunto del conjunto . Las letras f, g, h, F, G, H,… denotaran las funciones. El conjunto se llama conjunto de partida y el conjunto se llama conjunto de llegada. El conjunto de todos los posibles valores para los cuales la función f está definida se llama dominio de la función f, mientras que el conjunto formado por todas lasimágenes de f se llama rango de la función f. se lee la imagen de x a través de f es y. Denotaremos el dominio de la función f como y el rango de la función f por . Si f es una función de en lo denotaremos por: Dadas dos funciones y . Diremos que: si y sólo sí .
Definición: Se dice que es una función real de variable real o simplemente una función real, si tanto el conjunto de partida como elconjunto de llegada son subconjuntos del conjunto de números reales. Denotaremos las funciones reales por
Observación:
1. Una función es un conjunto de pares ordenados de números tal que dos puntos diferentes no tienen igual la primera componente.
2. La gráfica de la función f , denotada por , es el conjunto de todos los pares ordenados tal que .
3. Una curva en el plano real es elgráfico de una función si y sólo si toda recta vertical corta a la curva a lo más en un punto.
TIPOS DE FUNCIONES REALES.
1.- Función Constante: Sea . Se define la función constante como: donde c es un número real cualesquiera.
Observación:
1. y
2. La gráfica de la función constante es una recta paralela al eje X.
2.- Función Lineal o Función Afín: Sea . Se define la función Lineal o FunciónAfín como: donde ,
Observación:
1.
2. Si , entonces la función se transforma en la función constante.
3. La gráfica de la función lineal es un recta cuya inclinación está dada por el signo del número a. La gráfica corta al eje X en el punto , mientras que corta al eje Y en el punto . Por dos puntos diferentes pasa exactamente una recta.
3.- Función Cuadrática: Sea . Se define la...