Modulo 2

FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA

UCA

ALGEBRA Y GEOMETRIA
Primer Cuatrimestre 2014

Teor´ıa del Trabajo Pr´actico 4
M´odulo 2
Mar´ıa del Carmen Calvo

Contenido
Forma bin´omica — Forma trigonom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lema

(argumento del producto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Propiedades del argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Teorema de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Algoritmo de Divisi´on en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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1

Formas Bin´omica y Trigonom´etrica
Propiedades del Argumento

Forma bin´omica — Forma trigonom´etrica
La forma en la que hasta ahora hemos estado representando a los n´umeros complejos se la llama
forma bin´omica
z = a + bi
(a, b ∈R)
Escrito de esta manera, es inmediato saber cu´anto valen sus partes real e imaginaria
Re(z) = a

,

Im(z) = b

1

Recordando que el complejo z = a + ib no es otra cosa que el par (a, b) de R2 concluimos que




Re z = Re w
z = w ⇐⇒ 


Im z = Im w
Vamos a ver ahora otra forma de representar a los n´umeros complejos utilizando, en lugar de sus
partes real e imaginaria, su m´odulo yargumento. A esta otra manera de escribir a un complejo
se la denomina forma trigonom´etrica o tambi´en forma polar.
Antes recordemos algunos hechos muy evidentes que conviene no olvidar
◆ cada z ∈ C pertenece a una u´ nica circunferencia con centro en el origen 2 .
Dicho de otra manera, para cada z ∈ C hay un u´ nico r > 0 tal que z pertenece a la circunferencia de centro 0 y radio r.
◆ cada z ∈ Cpertenece a una u´ nica semirrecta con origen en 0.
Aqu´ı hay una diferencia con respecto al item anterior:
z
s
u
t

1

Recuerde que la parte imaginaria de un complejo es un n´umero real. La unidad imaginaria i no forma parte
de la parte imaginaria del complejo.
2
¿qu´e relaci´on tiene su radio con z?

2

Teor´ıa de la Pr´actica 4: forma bin´omica — forma trigonom´etrica

mientras que la semirrectas´ı es u´ nica, la medida del a´ ngulo que forma ella con el semieje
x positivo puede tomar infinitos valores dependiendo de cu´antos giros –en un sentido o en
otro– se den alrededor del origen a partir de la semirrecta en cuesti´on.
La imagen anterior ilustra este hecho: los a´ ngulos que miden
t radianes

,

u radianes

,

s radianes

deteminan la misma semirrecta (la que contiene a z) pero no sontodos iguales; en realidad
u = t + 2π

,

s = u + 2π = t + 4π

cada uno de ellos est´a dentro un intervalo de longitud 2π
0

t < 2π ,

2π

u < 4π ,

4π

s < 6π

Cualquier otro valor v que produzca la misma semirrecta que t tendr´a que diferir de t en una
cantidad de giros completos 3 ; en s´ımbolos,
v = t + 2kπ

(para alg´un valor entero k)

Entonces, si dos valores distintos —t y t′ — determinanla misma semirrecta deben diferir,
por lo menos, en 2π. Esto nos permite asegurar que dentro de cada intervalo de longitud 2π
solo puede haber un valor de t que determine a cada semirrecta.
Concluimos que si fijamos un intervalo de longitud 2π donde tomar el valor de cada argumento,
para cada z ∈ C existe no solo un u´ nico r > 0 sino tambi´en un u´ nico t en el intervalo elegido
tales que
z =r(cos t + i sen t)

z=a+bi
r sen t
r
t
r cos t

r

y como r = | z | y arg z = t + 2kπ (k ∈ Z) y tanto el seno como el coseno tienen per´ıodo 2π se
puede escribir a z en la forma
z = | z | (cos arg z + i sen arg z)
A esta manera de escribir a z, a partir de su m´odulo y argumento, se la llama la forma trigonom´etrica o polar.
3

cada giro mide 2π radianes

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