Modulo Completo De Cal

CALCULO DIFERENCIAL. JUAN GUILLERMO
ARANGO. GRUPO GNOMON

CAPITULO I: DESIGUALDADES Y VALOR
ABSOLUTO
OBJETIVOS
 Resolver desigualdades con una variable y representar su solución en la recta
numérica o empleando la notación de intervalos.
 Resolver desigualdades que involucren valor absoluto.
 Modelarsituaciones problemas en términos de desigualdades.
 Clasificar cierta cantidad de datosacerca de una medida de acuerdo a una
relación de orden, para luego interpretar en el lenguaje habitual su significado.
 Identificar en las relaciones de orden las diferentes jerarquías que se dan en
ciertas organizaciones sociales.

DIAGNÓSTICO

Para éste capítulo es fundamental que el estudiante logre resolver ecuaciones en
una variable; que sepa factorizar y conozca muy bien la recta real. Con eldiagnóstico observaremos si esto ocurre.

1. Resolver para la letra indicada:

a  rl
; r
1 r

(a)

S

(d)

x2
 2; x
x2

(b)

(e)

x2
 1; x
x2
g

4 2
t2

(c)

; t

(f)

x2
 0;
x2

x

A  2r r  h; r

2. Señalar en la recta de números reales y representar el conjunto con la notación
de intervalo.

x / x0 x / x  3

3. Efectuar aplicando productos notables

x 2  3x  42

6
52
4. Factorice lo máximo: a) x  5 x  81x  405 x

1

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b) 4 x 2  a 2  y 2  4 xy  2ab  b 2
5. Obtener el conjunto solución completando el cuadrado:

3x 2  2 x  6  0
5x
 1  0 por la fórmula cuadrática
3

6. Resolver

x2 

7. Resolver

2 x 3  5x 3  3  0

2

8. Resolver

1

2x  3  x  2  2  0

1.1 LA RECTA REAL
Pararepresentar el conjunto de los números reales usamos un sistema de
coordenadas que se llama la recta real. El número real que le corresponde a un
único punto en particular de la recta real se llama la coordenada de este punto.
El punto de la recta que corresponde al cero se llama origen de la recta real. A la
izquierda del origen se ubica los números negativos y a la derecha los números
positivos.

1.2DESIGUALDADES O INECUACIONES

En esta unidad analizaremos una nueva propiedad de los números reales y es la
que “EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ES ORDENADO”. Esto
significa que si sobre una línea recta colocamos dos números “a” y “b”, tales que
“a” está a la izquierda de “b”, esto significa que “a” es menor que “b” ó que “b” es
mayor que “a”.

Para introducir este concepto de orden, se han creadouna serie de símbolos así:
>Mayor que  x > y (se lee: x es mayor que y)
< Menor que  x < y (se lee: x es menor que y)
 Mayor o igual que  x > y (se lee: x es mayor o igual que y)
< Menor o igual que  x < y (se lee: x es menor o igual que y)

2

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A estos símbolos

se le llaman signos de desigualdad y a las expresiones

algebraicas quecontengan estos símbolos se les llaman DESIGUALDADES y sus
soluciones se representan en forma de intervalos. (Ej. x + 5 > 4, x2< 6, 2 > x2 + 4)

Si escribimos x < 4, queremos indicar que x está a la izquierda de 4 en la recta
numérica. Y si escribimos x > 3, queremos indicar que x está a la derecha de 3 en
la recta numérica.

1.2.1 Propiedades de las desigualdades. El álgebra para operar lasdesigualdades es la misma que se utiliza en las expresiones algebraicas
conocidas hasta el momento. La única diferencia radica en que, si multiplicamos
ó dividimos ambos miembros de una desigualdad por un mismo número
NEGATIVO, la desigualdad CAMBIA de sentido.
Ejemplo 1.  3x  12 

 3x 12

 x  4
3 3

1. Si a < b, entonces a +c < b+ c
2. Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d
Reglas de lasDesigualdades

3. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc
4. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc

5. Si 0 < a < b, entonces 1/a > 1/b

Regla 1: Si tengo una desigualdad y le sumo una misma cantidad en ambos
miembros de la desigualdad, el sentido de la desigualdad no cambia.
4<10

ó

17>10

4+ (-2) <10+ (-2)

17+5>10+5

2<8

22 > 15

Regla 2: Si tengo dos desigualdades con el mismo sentido, al sumar las...