Modulo De Young Y Ley De Hooke

gCapítulo 4 Elasticidad

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Ley de Hooke
Cuando estiramos o comprimimos un muelle, la fuerza recuperadora es directamente proporcional al cambio de longitud x respecto de la posición de equilibrio: F = −k x siendo k una constante de proporcionalidad, denominada constante elástica del muelle. El signo menos en la ecuación anterior se debe a que la fuerza recuperadora es opuesta a ladeformación. La energía potencial elástica correspondiente a la anterior fuerza es igual a: Ep (x) = 1 k x2 2

Módulo de Young
Cuando dos fuerzas iguales, pero de sentido contrario, comprimen a un cuerpo, se dice que éste está sometido a un esfuerzo de compresión. Si las fuerzas estiran el cuerpo, el esfuerzo es de tracción. Un esfuerzo cambia la longitud de una barra una distancia ∆L dada por: ∆L 1 F= L E A donde L es la longitud de la barra y A su sección. E es el módulo de Young, que nos da el grado de rigidez del material. El cociente ∆L/L ≡ se conoce como deformación. La fuerza por unidad de área se denomina esfuerzo y se denota por σ ≡ F/A. El límite elástico es el esfuerzo máximo para el que la deformación es reversible. El regimen lineal es aquel en el que se verifica la ecuaciónanterior. Existe un esfuerzo de rotura para el que el sólido no resiste tanta deformación y se rompe. El módulo de Young E posee unidades de N/m2 .

Flexión
La flexión se produce cuando aplicamos dos momentos iguales, pero de sentidos opuestos. Cada uno de esos momentos es un par de fuerzas iguales, pero opuestas, y su módulo, denominado momento flexor, es el módulo de la fuerza por la distancia. Elmomento flexor es igual a: M= E I R

en donde R es el radio de curvatura que adquiere la barra e I el momento de inercia respecto de la superficie neutra: I=
xmax 0

x2 l(x) dx

La deformación a una distancia x del centro, para un radio de curvatura R, es = x/R. El momento de inercia de una barra rectangular es ab3 /12, siendo a el lado apoyado y b el otro. El de un cilindro macizo vale πr4/4, y el de uno 4 4 hueco π(r1 − r2 )/4, siendo r1 el radio exterior y r2 el interior. Una columna es capaz de aguantar su propio peso hasta una altura dada por: lmax = c r2/3 en donde r es el radio de la sección y c una constante de proporcionalidad que depende del módulo de Young y de la densidad del material.

Coeficiente de Poisson
La deformación de cualquiera de las dos dimensioneslaterales en un esfuerzo de compresión o de tracción viene dada por:
y

=

z

=

α σx E

en donde y = ∆y/y, z = ∆z/z y hemos utilizado el subíndice x en el esfuerzo para significar la dirección en la que se produce. El parámetro α se denomina coeficiente de Poisson.

Deformaciones volumétricas
La presión ejerce una misma fuerza por unidad de área en todas las direcciones y siempreperpendicular a la superficie. El cambio de volumen debido a una presión viene dado por: ∆V 1 = p V B B es el módulo volumétrico de compresión. Encontramos que: B= B se mide en unidades de N/m2 . E 3(1 − 2α)

Deslizamiento
En un esfuerzo de cizalladura las fuerzas se aplican en dirección tangencial a la caras sobre las que actúan. El sólido reacciona inclinándose y la deformación correspondiente sedenomina de deslizamiento. La deformación viene dada por: ∆L 1 F = L G A La constante G, conocida como módulo de cizalladura, depende únicamente del tipo de material. El módulo de cizalladura se puede obtener a partir del módulo de Young y del coeficiente de Poisson: G= E 2(1 + α)

Problema 4.1
Un muelle se estira 2 cm cuando se le cuelga una masa de 4 kg. Después se le hace oscilar a dicha masa conuna amplitud de 3 cm. Determina: (a) la constante elástica del muelle, (b) la energía de la partícula oscilando, (c) la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio.

Problema 4.2
La energía de una partícula unida a una superficie es igual a U0 (r − r0 )2 , siendo r la distancia de la partícula a la superficie y r0 la distancia de equilibrio. ¿Qué fuerza experimenta la...