Modulo Ii

PROBLEMAS RESUELTOS
SISTEMAS DE ECUACIONES

Ing. Jhony Chilón Lozano

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE EL METODO DE REDUCCION DE GAUSS-JORDAN A) SISTEMAS CON SOLUCION UNICA 1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales m diante el m todo de Gauss− Jordan. 2x + 3y + z = 1 3 x − 2 y − 4 z = −3 5x − y − z = 4 Solución. a) Escribimos la matriz aumentada del sistema. 1 1  2 3   3 − 2 − 4 − 3   5 −1 −1 4  b) Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida.
3 1 1  −3 R1 + R2 1 1 3 1  1 2 3 2 2 2 2     1 R1  −5 R1 + R3 2 3 − 2 − 4 − 3   →  3 − 2 − 4 − 3   →  0 − 13   2   5 −1 −1 4  5 −1 −1 4    0 − 17   2    1 2 − 11 2 7 −2 1  2  − 9 2 3   2 

3 1 1 2 2  11 1   →  0  13   0 − 17 − 7 
2 − 13 R2 2R3 11 − 13R3 + R2

1  2  9  13

 3 

1 3 2  17 R2 + R3 0 1  →  0 0 

1 2 11 13 96 13

1  2  9  13 192   13 

1 3 2   →  0 1   0 0 
13 R 96 3

1 2 11 13

1  2  9  13

1

 2 

1 3 0 − 1  x =1 1 0 0 1  2 2 3    − 2 R2 + R1    →  0 1 0 − 1    →  0 1 0 − 1 ⇒ y = −1   0 0 1 2  0 0 1 2   z=2    
− 1 R3 + R1 2

c)Interpretación del resultado. La última matriz escalonada reducida indica que: La solución del sistema es x = 1, y = −1, z = 2 . 2) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. 3x + 2 y + 4 z = 1 5 x − y − 3z = − 7 4x + 3y + z = 2
01

PROBLEMAS RESUELTOS
Solución.
SISTEMAS DE ECUACIONES

Ing. Jhony Chilón Lozano

a) La matriz aumentada del sistema es: 1  4 3 2   5 −1 − 3 − 7 4 3 2  1  b) Desarrollo. 1  4  − 1 − 1 3 − 1  5 R1 + R2  − 1 − 1 3 − 1  3 2    − R3 + R1   4 R1 + R     5 − 1 − 3 − 7    →  5 − 1 − 3 − 7   3 →  0 − 6 12 − 12  4 3 4 3   2  2  1 1   0 − 1 13 − 2     1 1 − 3 1    R2 + R3 →  0 1 − 2 2   →  0 − 1 13 − 2   
− 1 R2 6 2 R3 + R2 3 R3 + R1 − R1

1 1 − 3 1 1 1 − 3 1 1   11 R3     0 1 − 2 2   → 0 1 − 2 2   0 0 11 0     0 0 1 0  ∴ x = −1 y=2 z=0

1 1 0 1  1 0 0 − 1   − R2 + R1     →  0 1 0 2    →  0 1 0 2    0 0 1 0 0 0 1 0      c) Resultado. La solución del sistema es x = −1, y = 2 , z = 0 . B) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES

3) Obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales. 3x − 2 y + 3z = 5 2x + 4 y − z = 2 Solución.  3− 2 3 5  − R2 + R1  1 − 6 4 3  −2 R1 + R2      2 4 − 1 2    →  2 4 − 1 2   →      1 − 6 4  0 1 − 9 16  3  6R +R  21 →  − 1 4
5 1 0 8  0 1 − 9 16  3  2  − 1 4
1 3  16 R2 1 − 6 4    →   0 16 − 9 − 4   

La última matriz está en su forma escalonada reducida, ya no se puede reducir más, de donde obtenemos: x+ y
5z 8 9 − 16 z 3 2 =− 1 4

=despejando  →

x, y x= y
3 − 5z 2 8 1+ 9 z = − 4 16

02
www.chilonunellez.blogspot.com

T

todo este material fue tomado de la web "www.cbi.azc.uam.mx"

luego x, y dependen de z, si z = t, t ∈ ℝ, tenemos x= y
3 − 2 =− 1 + 4 5t 8 9 t 16

; t ∈ ℝ.

z = t Es decir, el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones ya que para cada valor de t habrá un valor para x, y, z.4) Resolver el sistema de ecuaciones: 2 x − y + 3z = 4 3x + 2 y − z = 3 x + 3 y − 4 z = −1 Solución. Desde un principio podemos escribir la matriz aumentada del sistema con su primer renglón de coeficientes de la tercera ecuación, es decir, podemos reordenar las ecuaciones  1 3 − 4 − 1 −2 R1 + R2   −3 R1 + R3 4   → 2 −1 3 3 2 −1 3     1 3 − 4 − 1  1 3 − 4 − 1   − R2 + R3    0 − 7 11 6    →  0 − 7 11 6   0 − 7 11 6  0 0 0 0    

5 11  5 x + 7 z = 11 1 0 7 1 3 − 4 −1  7  7    R1 11 − 6 −3 R2 +→  0 1 − 11 − 6  ⇒ y − 11 z = − 6 ⇒  →  0 1 − 7   7 7 7 7 7   0 0 0  0 0 0  0  0  0z = 0   − 1 R2 7

x+ y

5z 7 − 11 z 7

=

11 7 6 =− 7

ó sea

x= y

11 7 6 =− 7

− +

5z 7 11 z 7

Nuevamente pongamos z = t, t...