MODULO No
Páginas: 9 (2024 palabras)
Publicado: 31 de mayo de 2015
Derivación
Prof. D. Atencio
DERIVACIÓN
Derivada de una Función
Definición de la derivada de una función: La derivada de
por
siempre que exista ese límite.
límite,
es una función de
Para todos los
en
está dada
para los que exista ese
El proceso de calcular la derivada de una función se llama derivación.
Notaciones para la derivada
que se lee “ prima de ”. Además, se usan otras notacionespara la
derivada de
. Las más comunes son:
La notación
se lee “derivada de
usando notación de límite, se puede escribir:
”, o simplemente
Ejemplo:
Hallar la derivada de la función mediante el proceso de límite
Solución:
1
Referencias: Cálculo, Larson R. y Edwards B. El Cálculo, Leithold L. Cálculo, Stewart S. y Thomas G.
Derivación
Prof. D. Atencio
Ejemplo:
Hallar la derivada de lafunción mediante el proceso de límite
Solución:
2
Referencias: Cálculo, Larson R. y Edwards B. El Cálculo, Leithold L. Cálculo, Stewart S. y Thomas G.
Derivación
Prof. D. Atencio
Derivabilidad y Continuidad
La derivada de
en
es:
siempre que dicho límite exista.
La existencia del límite en esta forma
alternativa requiere que los límites unilaterales
existan y sean iguales.
Estos límiteslaterales se denominan derivada por
la izquierda y por la derecha, respectivamente. Se dice que es derivable
en un intervalo cerrado
si es derivable en
y existen además la
derivada por la derecha en y la derivada por la izquierda en
Si una función no es continua en
, no puede ser derivable en
Teorema: Derivable implica continua
Si
es derivable en
, entonces
es continua en
.
Reglas Básicas deDerivación
La Regla de la Constante
Teorema: La Regla de la Constante
La derivada de una función constante es cero. Es decir, si
real, entonces
es un número
Ejemplos:
Función
3
Derivada
Referencias: Cálculo, Larson R. y Edwards B. El Cálculo, Leithold L. Cálculo, Stewart S. y Thomas G.
Derivación
Prof. D. Atencio
La Regla de la Potencia
Teorema: La Regla de la Potencia
Si
es un númeroracional, entonces la función
es derivable y
Para que
sea derivable en
debe ser un número tal que
encuentre definido en un intervalo que contenga al 0.
Regla de las potencias para
se
.
Ejemplos:
FUNCIÓN
DERIVADA
La Regla del Múltiplo Constante
Teorema: La Regla del Múltiplo Constante
Si
es una función derivable y
derivable
un número real, entonces
también es
La regla del múltiplo constante yla de la potencia se pueden combinar en
una sola, así:
4
Referencias: Cálculo, Larson R. y Edwards B. El Cálculo, Leithold L. Cálculo, Stewart S. y Thomas G.
Derivación
Prof. D. Atencio
Ejemplo: Calcular la derivada de
Solución:
Las Reglas de suma y diferencia
Teorema: Las reglas de suma y diferencia
La derivada de la suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables
es derivable ensí.
Además, la derivada de (
es igual a la
suma (o diferencia) de las derivadas de
Ejemplos:
FUNCIÓN
DERIVADA
Reglas del Producto y del Cociente
Teorema: La Regla del Producto
5
Referencias: Cálculo, Larson R. y Edwards B. El Cálculo, Leithold L. Cálculo, Stewart S. y Thomas G.
Derivación
Prof. D. Atencio
El producto de dos funciones derivables
también es derivable. Además,
su derivada esigual a la primera a la primera función por la derivada de la
segunda más la derivada de la primera por la segunda.
Ejemplo: calcular la derivada de
Solución:
Teorema: La Regla del Cociente
El cociente
de dos funciones derivables
también es derivable para
todos los valores de para los que
Además, la derivada de
se
obtiene mediante el denominador por la derivada del numerador menos el
numeradorpor la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado
del denominador.
Ejemplo: Encontrar la derivada de
Solución:
6
Referencias: Cálculo, Larson R. y Edwards B. El Cálculo, Leithold L. Cálculo, Stewart S. y Thomas G.
Derivación
Prof. D. Atencio
Derivada de las Funciones Trigonométricas
Derivadas de Orden Superior
La segunda derivada de
es la derivada de la primera derivada...
Prof. D. Atencio
DERIVACIÓN
Derivada de una Función
Definición de la derivada de una función: La derivada de
por
siempre que exista ese límite.
límite,
es una función de
Para todos los
en
está dada
para los que exista ese
El proceso de calcular la derivada de una función se llama derivación.
Notaciones para la derivada
que se lee “ prima de ”. Además, se usan otras notacionespara la
derivada de
. Las más comunes son:
La notación
se lee “derivada de
usando notación de límite, se puede escribir:
”, o simplemente
Ejemplo:
Hallar la derivada de la función mediante el proceso de límite
Solución:
1
Referencias: Cálculo, Larson R. y Edwards B. El Cálculo, Leithold L. Cálculo, Stewart S. y Thomas G.
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Ejemplo:
Hallar la derivada de lafunción mediante el proceso de límite
Solución:
2
Referencias: Cálculo, Larson R. y Edwards B. El Cálculo, Leithold L. Cálculo, Stewart S. y Thomas G.
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Derivabilidad y Continuidad
La derivada de
en
es:
siempre que dicho límite exista.
La existencia del límite en esta forma
alternativa requiere que los límites unilaterales
existan y sean iguales.
Estos límiteslaterales se denominan derivada por
la izquierda y por la derecha, respectivamente. Se dice que es derivable
en un intervalo cerrado
si es derivable en
y existen además la
derivada por la derecha en y la derivada por la izquierda en
Si una función no es continua en
, no puede ser derivable en
Teorema: Derivable implica continua
Si
es derivable en
, entonces
es continua en
.
Reglas Básicas deDerivación
La Regla de la Constante
Teorema: La Regla de la Constante
La derivada de una función constante es cero. Es decir, si
real, entonces
es un número
Ejemplos:
Función
3
Derivada
Referencias: Cálculo, Larson R. y Edwards B. El Cálculo, Leithold L. Cálculo, Stewart S. y Thomas G.
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La Regla de la Potencia
Teorema: La Regla de la Potencia
Si
es un númeroracional, entonces la función
es derivable y
Para que
sea derivable en
debe ser un número tal que
encuentre definido en un intervalo que contenga al 0.
Regla de las potencias para
se
.
Ejemplos:
FUNCIÓN
DERIVADA
La Regla del Múltiplo Constante
Teorema: La Regla del Múltiplo Constante
Si
es una función derivable y
derivable
un número real, entonces
también es
La regla del múltiplo constante yla de la potencia se pueden combinar en
una sola, así:
4
Referencias: Cálculo, Larson R. y Edwards B. El Cálculo, Leithold L. Cálculo, Stewart S. y Thomas G.
Derivación
Prof. D. Atencio
Ejemplo: Calcular la derivada de
Solución:
Las Reglas de suma y diferencia
Teorema: Las reglas de suma y diferencia
La derivada de la suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables
es derivable ensí.
Además, la derivada de (
es igual a la
suma (o diferencia) de las derivadas de
Ejemplos:
FUNCIÓN
DERIVADA
Reglas del Producto y del Cociente
Teorema: La Regla del Producto
5
Referencias: Cálculo, Larson R. y Edwards B. El Cálculo, Leithold L. Cálculo, Stewart S. y Thomas G.
Derivación
Prof. D. Atencio
El producto de dos funciones derivables
también es derivable. Además,
su derivada esigual a la primera a la primera función por la derivada de la
segunda más la derivada de la primera por la segunda.
Ejemplo: calcular la derivada de
Solución:
Teorema: La Regla del Cociente
El cociente
de dos funciones derivables
también es derivable para
todos los valores de para los que
Además, la derivada de
se
obtiene mediante el denominador por la derivada del numerador menos el
numeradorpor la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado
del denominador.
Ejemplo: Encontrar la derivada de
Solución:
6
Referencias: Cálculo, Larson R. y Edwards B. El Cálculo, Leithold L. Cálculo, Stewart S. y Thomas G.
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Derivada de las Funciones Trigonométricas
Derivadas de Orden Superior
La segunda derivada de
es la derivada de la primera derivada...
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