moises villenas

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

5
5.1 RAZÓN DE CAMBIO
5.2 PROBLEMAS PRÁCTICOS DE MÁXIMOS Y
MÍNIMOS
5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES
5.4 POLINOMIO DE TAYLOR

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Resuelva problemas de razón de cambio.
• Resuelva problemas de máximos y mínimos.
• Aproxime valores.
• Aproxime funciones mediante polinomios

127Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

5.1 RAZÓN DE CAMBIO
Como la derivada expresa el cambio instantáneo que experimenta una
variable con respecto a otra variable, para una función y = f (x) , se podría
obtener la derivada o razón de cambio de las variables " x " y " y " con
dy
dx
respecto al tiempo " t ", es decir: " " y " ". Lo cual nos va a permitir
dt
dtresolver problemas de aplicación.
Ejemplo 1
Hacia un tanque cónico fluye agua a razón de 8 p

3

, si la altura del tanque es de 12
min
pies y el radio de la base es de 6 pies. ¿Qué tan rápido se esta elevando el nivel del
agua cuando tiene 4 pies de altura?.
SOLUCIÓN:
Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:

Llamemos:

M ≡ Cantidad de agua que entra en p 3
Q ≡Cantidad de agua que sale en p 3
V ≡ Cantidad de agua alojada en p 3

Para este tipo de problema, de manera general se puede proponer: M − Q = V
Derivando con respecto al tiempo, resulta:

dM dQ dV
−
=
dt
dt
dt
Ahora de acuerdo a la información proporcionada, tenemos:

dM
p3
=8
y
dt
min
dQ
p3
=0
.
dt
min

El volumen del agua alojada depende de la geometría del recipiente. Eneste caso deberíamos usar
la formula del volumen de un cono , es decir: V =

1
3

πr 2 h .

Ahora hay que tener la función volumen en término de una variable, que en este caso, lo más
indicado es que sea en función de h (¿por qué?). La forma geométrica del recipiente y la forma
geométrica de la masa de agua que se va alojando en el recipiente nos permite hacer lo indicado. Las
seccionestransversales son triángulos semejantes, esto nos permite relacionar r con h .

128

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZ

h r
h
=
entonces r =
12 6
2
reemplazando en la formula para el
volumen del agua alojada, resulta:
2

⎛h⎞
π
V = 1 π⎜ ⎟ h = 12 h 3
3
⎝2⎠
por tanto
Entonces:

dV π 2 dh
= h
dt
4
dt

dM dQ dV
−
=
dt
dt
dt
π 2 dh
8−0 = 4 hdt
dh
32 p
=
dt πh 2 min
En h = 4 resulta:

dh
32
32
2 p
=
=
=
dt π(4 )2 π16 π min

Ejemplo 2
Una piscina tiene 40 p de largo y 20 p de ancho, 8 p de profundidad en el extremo mas
hondo y 3 p en el extremo menos profundo, El fondo es rectangular, se esta
bombeando agua a razón de 40 p3/min. ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del agua
cuando tiene:
a) 3 p
b) 6 p
SOLUCIÓN:Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:

Note que aquí tenemos un recipiente de doble geometría, por tanto antes que el nivel del agua sea 5p
es una situación y otra situación después de los 5p.
a) 0 < h ≤ 5

De manera análoga al problema anterior

p3
p3
dV
Entra −
sale =
Alojada
min
min
dt

129

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

MOISES VILLENA MUÑOZEl volumen de agua alojada en el recipiente se lo calcula con la formula para un prisma de base
triangular, es decir V = 1 bh(20) = 10bh .
2
La relación entre b y h se la obtiene considerando los triángulos semejentes; entonces:

b
h
= ,
40 5

que resulta: b = 8h .
Por tanto, el volumen queda: V = 10(8h)h = 80h .
2

De aquí resulta

dV
dh
= 160 h
.
dt
dt

Reemplazando, seobtiene:

p3
p3
dV
Entra −
sale =
Alojada
min
min
dt
dh
40 − 0 = 160h
dt
dh
1 p3
=
dt 4h min
En h = 3 resulta

pu lg
dh
1
1 p3
=
=
=1
dt 4(3) 12 min
min

b) si 5 ≤ h ≤ 8 , tenemos:

El volumen de agua alojada en el recipiente se lo puede calcular de la siguiente manera:

V = V1 + V 2
V = 1 (5)(40)(20) + 40h(20)
2
V = 2000 + 800h
entonces

dV
dh
= 800
y...