Momemtos

Ejercicios de Momento
(Alrededor de un punto, alrededor de un eje, de fuerza Par y Transformación en un sistema Fuerza – Par)


Alrededor de un Punto:
El momento alrededor de un punto se puede hallar mediante la expresión:
M ⃗=r ⃗×F ⃗
En donde M ⃗ representa el momento ejercido por la fuerza, r ⃗ representa al vector posición, es decir, el vector formado desde el origen hasta el puntodonde es ejercida la fuerza, y F ⃗ representa el vector fuerza.
Por otro lado teniendo un θ que representa el ángulo entre el vector posición y el vector fuerza, permitiendo expresar el momento como:

M ⃗=r ⃗F ⃗senθ

La magnitud del momento mide la tendencia de la fuerza a hacer rotar al cuerpo alrededor de un eje fijo rígido a lo largo de M ⃗.

SCILAB:
Teniendo en cuento las componentesque tiene un vector y además a que equivale el producto vectorial entre 2 vectores, es posible realizar los ejercicios en Scilab aplicando:
Para hallar el momento (vector)

Mi ̂=(r(2)*F(3)-r(3)*F(2))
Mj ̂=-1*(r(1)*F(3)-r(3)*F(1))
Mk ̂=(r(1)*F(2)-r(2)*F(1))

M=[ Mi ̂,Mj ̂,Mk ̂ ]

Para hallar el momento (magnitud):
M=r*F*sin(thetarad)
M=d*F

Hay que tener presente que para poderaplicar esta fórmula hay que antes determinar el vector fuerza y el vector posición con los cuales se hará el producto vectorial (producto cruz).

Notas:
El sentido de M está definido por la regla de la mano derecha.
Cuando los ejercicios a realizar son en 2D es válido tomar una de las componentes como 0 (teniendo en cuenta lo que se requiere).
Hay que tener en cuenta que si se va a hallarel momento en un punto en la que actúa más de 1 fuerza hay que aplicar el teorema de Varigno:

r×(F_1+F_2+⋯+F_n )=r×F_1+r×F_2+⋯+r×F_n

Ejercicio:
3.26 – Una lancha pequeña cuelga de dos grúas, una de las cuales se muestra en la figura. La tensión en la línea ABAD es de 82 lb. Determine el momento alrededor de C de la fuerza de la fuerza resultante R_A ejercida sobre la grúa en A. (Tomado dellibro Mecanica Vectorial para Ingenieros Estatica, Beer-Johnston, 9° Edición, pág. 92)

Desarrollo:
F=82
A=(0,0,0)
B=(0,-1,0)
C=(0,-7.75,-3)
D=(6,-7.75,-3)

r ⃗=(CA) ⃗
r ⃗=(0-0) i ̂+(0-(-7,75)) j ̂+(0-(-3)) k ̂
r ⃗=0 i ̂+7,75 j ̂+3 k ̂

(F_AD ) ⃗=F/|(AD) ⃗ | *(AD) ⃗
(AD) ⃗=(6-0) i ̂+((-7.75)-0) j ̂+((-3)-0) k ̂
(AD) ⃗=6 i ̂-7,75 j ̂-3 k ̂
|(AD) ⃗ |=√((6)^2+(-7,75)^2+(-3)^2 )|(AD) ⃗ |=10,25
(F_AD ) ⃗=82/10,25*(6 i ̂-7,75 j ̂-3 k ̂ )
(F_AD ) ⃗=8*(6 i ̂-7,75 j ̂-3 k ̂ )
(F_AD ) ⃗=48 i ̂-62 j ̂-24 k ̂

(F_AB ) ⃗=F/|(AB) ⃗ | *(AB) ⃗
(AB) ⃗=(0-0) i ̂+((-1)-0) j ̂+(0-0) k ̂
(AB) ⃗=0 i ̂-1 j ̂+0 k ̂
|(AB) ⃗ |=√((0)^2+(-1)^2+(0)^2 )
|(AB) ⃗ |=1
(F_AB ) ⃗=82/1*(0 i ̂-1 j ̂+0 k ̂ )
(F_AB ) ⃗=0 i ̂-82 j ̂+0 k ̂
Nota: ya que son dos cuerdas se debe multiplicar por 2.(F_TAB ) ⃗=2*(0 i ̂-82 j ̂+0 k ̂ )
(F_TAB ) ⃗=0 i ̂-164 j ̂+0 k ̂

R ⃗=(F_TAB ) ⃗+(F_AD ) ⃗
R ⃗=(0 i ̂-164 j ̂+0 k ̂ )+(48 i ̂-62 j ̂-24 k ̂ )
R ⃗=(0+48) i ̂+(-164-62) j ̂+(0-24) k ̂
R ⃗=48 i ̂-226 j ̂-24 k ̂

M ⃗=r ⃗×R ⃗
M ⃗=|■(i ̂&j ̂&k ̂@0&7,75&3@48&-226&-24)|

M ⃗=492 i ̂+144 j ̂-372 k ̂

Código Scilab:
//Ejercicio 3.26 pág. 92 (Mecánica vectorial para ingenieros 9 ediciónBEER)
clc
clear
close
F=82
A=[0,0,0]
B=[0,-1,0]
C=[0,-7.75,-3]
D=[6,-7.75,-3]

//Hallo el vector posición
CAx=A(1)-C(1)
CAy=A(2)-C(2)
CAz=A(3)-C(3)
r=[CAx,CAy,CAz];

//Hallar el vector fuerza respecto a los cable en B y A
ABx=B(1)-A(1)
ABy=B(2)-A(2)
ABz=B(3)-A(3)
AB=[ABx,ABy,ABz];
ab=((AB(1))^2+(AB(2))^2+(AB(3))^2)^(1/2)
//Las fuerzas resultantes en AB deben ser multiplicadaspor 2 debido a que son 2 cuerdas
FABx=F/ab*AB(1)*2
FABy=F/ab*AB(2)*2
FABz=F/ab*AB(3)*2
FAB=[FABx,FABy,FABz];

//Hallar el vector fuerza respecto al cable en A y D
ADx=D(1)-A(1)
ADy=D(2)-A(2)
ADz=D(3)-A(3)
AD=[ADx,ADy,ADz];
ad=((AD(1))^2+(AD(2))^2+(AD(3))^2)^(1/2)
FADx=F/ad*AD(1)
FADy=F/ad*AD(2)
FADz=F/ad*AD(3)
FAD=[FADx,FADy,FADz];

//Hallar fuerza resultante
Rx=FAD(1)+FAB(1)...