momento angular

7. Momento angular

7. MOMENTO ANGULAR
El concepto de momento angular es muy útil para describir movimientos en dos o tres dimensiones y rotaciones. Consideremos el movimiento de un punto de masa m respecto de O. Este movimiento se puede pensar como la superposición un movimiento radial con velocidad vr y un
movimiento de rotación alrededor de O con velocidad vt . Desde este punto de vista lacantidad
de movimiento p = mv es la suma de dos términos:

p = mvr + mvt = pr + pt

(7.1)

ˆ ˆ
donde pr = r ( r ⋅ p) es la cantidad de movimiento radial y pt la cantidad de movimiento asociada con la rotación alrededor de O (Fig. 7.1).

p
pt
pr
m
r

O

Fig. 7.1. El movimiento de un punto respecto de O se puede pensar como la superposición
de un movimiento radial y un movimientode rotación alrededor de O.
Una forma práctica de separar las dos partes de p es introducir la cantidad
L=r×p

(7.2)

L = r × p = r × pt

(7.3)

dado que L depende solamente de pt porque

La magnitud L se llama momento angular y es el momento1 de la cantidad de movimiento; su
valor depende de la elección de O, en efecto el momento angular respecto del punto O′ que difiere de O por undesplazamiento rOO′ es LO′ = LO − rOO′ × p (Fig. 7.2). Cuando no haya riesgo
de confusión daremos por sobreentendido el punto respecto del cual se calcula L.

1

El origen del término momento proviene de que se denomina momento de un vector A (aplicado en el punto P)

respecto de un origen O a la cantidad M = rOP × A .

201

7. Momento angular

Fig. 7.2. El momento angular dependedel punto respecto del cual se lo calcula.
Veamos dos ejemplos:
• Sea un cuerpo de masa m que sigue una trayectoria circular con velocidad angular ω alrededor de un eje y sea O un punto del eje (Fig. 7.3). Entonces v = ω × r = ω × r⊥ , luego
p = mv = mω × r⊥ y el momento angular respecto de O es
L = r × p = m r × (ω × r⊥ )

(7.4)

Si A, B, C son tres vectores cualesquiera A × ( B × C ) = (A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B)C , luego
2
L = m r⊥ ω − mr||ω r⊥

(7.5)

Si O coincide con el centro de giro r|| = 0 y
2
L = m r⊥ ω

(7.6)

w

r
⊥

O

m

p
v

r

Fig. 7.3. Momento angular de un cuerpo que sigue una trayectoria circular.
•

Sea un objeto que se mueve con movimiento rectilíneo y O un punto cualquiera (Fig. 7.4).
Luego L = r × m v ; pero r = r|| + r⊥ y entonces
L= m r⊥ × v

202

(7.7)

7. Momento angular

p

r

r
⊥
O

Fig. 7.4. Momento angular de un cuerpo que se mueve con movimiento rectilíneo.
Relaciones entre momento angular, cantidad de movimiento y energía cinética
Dado que el momento angular y la cantidad de movimiento radial son magnitudes útiles para
describir movimientos conviene tener a mano expresiones que las vinculen conla energía cinética. La energía cinética se expresa como
T = 1 m v2 =
2

p2
2m

(7.8)

Partiendo de la definición de L calculemos

L2 = L ⋅ L = ( r × p) ⋅ ( r × p) = r 2 p2 sen 2 ϕ = r 2 p2 (1 − cos2 ϕ )

(7.9)

2
donde ϕ es el ángulo entre r y p. Pero rp cos ϕ = r ⋅ p = rpr de modo que L2 = r 2 p2 − r 2 pr . Dividiendo por 2 mr 2 resulta

L2
p2
p2
=
− r
2 mr 2 2 m 2 m(7.10)

y entonces
T=

L2
p2
+ r
2 mr 2 2 m

(7.11)

Claramente el primer término del miembro derecho es la parte de la energía cinética debida a la
rotación alrededor del punto respecto del cual estamos calculando el momento angular y el segundo término es la parte de T asociada con el movimiento radial.
Variación del momento angular
Diferenciando la definición de L obtenemos
dL = dr× p + r × dp = r × Fdt

(7.12)

dL
=r×F
dt

(7.13)

pues dr × p = vdt × p = 0 . Luego

203

7. Momento angular
Ahora M ≡ r × F es el momento de F (calculado respecto del punto desde donde tomamos el
momento angular). Luego

dL
=M , M=r×F
dt

(7.14)

Esta es la ecuación de movimiento del momento angular y expresa que la tasa de variación del
momento angular es igual al...