Momento de inercia de una distribuci n de masas puntuales

Momento de inercia de una distribución de masas
puntuales
Tenemos que calcular la cantidad

donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de
1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el
momento de inercia del sistema respecto de un ejeperpendicular a la varilla que pasa a
través de
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Un extremo
De la segunda masa
Del centro de masa
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la
varilla y que pasa por la primera partícula es
IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la
varilla y que pasa por la segunda partícula esIB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la
varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas)
es
IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2

En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma
indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e IB, sabiendo
las distancias entre los ejes paralelosAC=0.5 m y BC=0.25 m.
La fórmula que tenemos que aplicar es
I=IC+Md2

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IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de
masa
I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior
M es la masa total del sistema
d es la distancia entre los dos ejes paralelos.

IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.
IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.Momento de inercia de una distribución continua de
masa
Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La
fórmula que tenemos que aplicar es

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías
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Aplicación directa del concepto de momento de inercia
Partiendo del momento de inercia de uncuerpo conocido

Momento de inercia de una varilla
Vamos a calcular el momento de inercia de una
varilla de masa M y longitud L respecto de un eje
perpendicular a la varilla que pasa por el centro de
masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el
momento deinercia de la varilla respecto de un eje
perpendicular a la misma que pasa por uno de sus
extremos.

Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un
eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de
radio x y de anchura dx. Sirecortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un
rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco es

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y
longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa
cilíndrica cuyo radio interiores x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la
figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e

Momento de inercia de una placa rectangular

Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular
delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la
placa.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. Elelemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa
de este rectángulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de
masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de
rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de
anchuradx. La...