Momento de Inercia Irregular

 MOMENTO DE INERCIA Y PÉNDULO FÍSICO
Laboratorio N° 11- Escuela de Física
Sebastián Amaya Hincapié, Felipe Penagos Sierra, Eduardo Paba Vega.
Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
samayah@unal.edu.co, fepenagossi@unal.edu.co ,eapabav@unal.edu.co.

RESUMEN – Se estudia el concepto fundamental de la dinámica del cuerpo rígido, como es el momento de inercia. Se halla, tanto su valorexperimental como teórico para una placa con formas geométricas regulares dada, y se comparan estos dos resultados.

OBJETIVOS- Estudiar el momentum angular de una placa compuesta de figuras geométricas conocidas y demostrar algunos momentos de inercia importantes que constantemente son utilizados en los problemas básicos
de la física.

FUNDAMENTO TEÓRICO

El momento de inercia, osegundo momento, se entiende como la facilidad que tiene un cuerpo rígido para rotar alrededor de un eje. La geometría de un cuerpo rígido y la forma como se distribuye la masa, son conceptos fundamentales que determinan completamente el momento de inercia del sólido rígido.

Consideremos una placa con densidad de masa uniforme que gira alrededor del eje z.





Ahora consideremos undiferencial de masa . Se define el momento de inercia, para dicho diferencial de masa, con respecto al eje z y que denotamos por




Como:
(1)

Donde es la distancia que hay entre el eje de rotación y el . Pero , teniéndose entonces que

(2)
El momento de inercia total alrededor del eje Z se obtiene sumando todas las contribuciones del tipo (2)(3)

Observación: La primera de las integrales corresponde al momento de inercia respecto del eje y, mientras que la segunda corresponde al momento de inercia respecto del eje x.

Si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje que pasa por su centro de masa, se puede encontrar el momento de inercia de dicho cuerpo respecto a cualquier otro eje paralelo a éste. Esto esposible a través del denominado teorema de Steiner, el cual se expresa como sigue:

(4)

Donde es la masa del sólido y es la distancia entre los ejes paralelos.

ACTIVIDAD TEÓRICA

Problema:
Plantear las ecuaciones dinámicas y determinar el momento de inercia del carrete mostrado, con respecto al punto de contacto P. El radio interno y externo son, respectivamente, y R. La masa Msube con una aceleración constante de , y Q es el punto de contacto entre la cuerda y el saliente.


Hacemos sumatoria de fuerzas en y para ambos bloques:



2Mg- T1 = 2M.a(1) T2-Mg = Ma
T1 = 2Mg-2Ma T2= Ma+Mg
T1=2Mg-2M

La aceleración angular es α=g/12r como la aceleración tangencial del punto R es aR= α.4r=(g/12r)*4r=g/3 , el bloque de masa 2M cae con dicha aceleración.

T1=
T2= Ma+M
T2=
Hacemos sumatoria de torques en el centro de masa:











Ahora aplicamos el teorema de Steiner:





Donde es equivalente al radio externo.







Finalmente remplazando quedaría:




Por otro lado, como la aceleración con que sube el bloque de masa M es g/4 y esta aceleraciónequivale a la tangencial del carrete en el punto Q donde aQ= α.3r

La aceleración angular es α=g/12r. como la aceleración tangencial del punto R es aR= α.4r=(g/12r)*4r =g/3 , el bloque de masa 2M cae con dicha aceleración.

Reemplazando en la ecuación (1) tenemos que:


Evaluando el momento en el carrete, con respecto al punto P:

Las fuerzas que realizan momento sonsolamente T y T‘, donde ambas fuerzas quedan perpendiculares a las distancias, partiendo desde el punto P. Como la aceleración angular va en sentido anti-horario, es decir, apunta hacia fuera del plano del dibujo, el momento de T es negativo y el de T` positivo. De este modo:



Reemplazando los valores de T y T’ y α encontramos:


Momentos de Inercia

Demostraremos teóricamente el...