momento de inercia

UNIDAD 3
Momento de Inercia

por Javier L. Mroginski

3.1
3.1.1

Momentos de segundo orden de superficies. Momento de Inercia.
Definiciones.

Dada la superficie que se muestra en la figura 3.1a y dos ejes cualesquiera x e y contenidos
en el mismo plano. Sea adem´s un diferencial de superficie dΩ, cuya distancia a dichos ejes es
a
y y x, respectivamente. Se define como momento de segundoorden del elemento de superficie
dΩ respecto del par de ejes x, y al producto del area de superficie elemental por las distancias
´
a ambos ejes:
dIxy = xy dΩ

(3.1)

Figura 3.1: Momento de centr´
ıfugo y momento de inercia
Luego, integrando la expresi´n (3.1) en toda la superficie se obtiene el momento de segundo
o
orden de la superficie respecto de los ejes considerados, tambien llamadomomento de centr´
ıfugo
o producto de inercia de superficie.
1

Estabilidad 1
Facultad de Ingenier´ UNNE.
ıa.

Ixy =

xy dΩ

(3.2)

Ω

Por otro lado, siendo el area una magnitud (escalar) positiva, el momento centr´
´
ıfugo tendr´ un signo que depender´ del signo de las coordenadas de los elementos de superficie. As´ por
a
a
ı
ejemplo, las superficies que se encuentres en elprimer y tercer cuadrante tendr´n momento
a
centr´
ıfugo positivo, mientras que aquellas ubicadas en el segundo y cuarto cuadrante tendr´n
a
momento centr´
ıfugo negativo (ver figura 3.2).

Figura 3.2: Signo del momento centr´
ıfugo
Supongamos por un momento que el eje x de la figura 3.1a sufre una rotaci´n hasta supero
ponerse con el eje y, como se observa en la figura 3.1b. En este caso ladistancia x, al eje y,
coincide con la distancia y, al eje x, dado que ambos ejes son coincidentes. En consecuencia la
expresi´n (3.2) se transforma en
o
Ixx =

x2 dΩ

(3.3)

Ω

que define el momento de inercia de superficie respecto del eje x. Es decir, el momento de inercia
de una superficie respecto de un eje cualquiera es igual a la integral de superficie del producto
del diferenciade superficie por la distancia al cuadrado al eje respectivo.
El momento de inercia definido por (3.3) ser´ siempre positivo independientemente de la
a
posici´n de la superficie respecto del sistema coordenado, dado que el elemento de superficie dΩ
o
y el cuadrado de cualquier distancia son magnitudes positivas. Excepcionalmente podr´ cona
siderarse un momento de inercia negativo para facilitarel calculdo del momento de inercia de
superficies compuestas como se ver´ m´s adelante.
a a
Consideremos ahora un punto cualquiera O en el plano que contiene a la superficie Ω de
la figura 3.1b, y sea ρ la distancia del diferencial de superficie dΩ a dicho punto. Se denomina
momento de inercia polar del elemento dΩ respecto del centro O, al producto de dΩ por la
distancia ρ al cuadrado
dIp =ρ2 dΩ

(3.4)

luego, la integral de la expresi´n (3.4) dar´ el momento de inercia polar de la superficie Ω
o
a
respecto del centro O, llamado tambien polo
2

Unidad 3
Momento de Inercia

Ip =

ρ2 dΩ

(3.5)

Ω

por las mismas razones que en el caso anterior, el momento de inercia polar ser´ siempre positivo.
a
Haciendo un an´lisis de las unidades de las magnitudes queintervienen en el c´lculo de los
a
a
tres tipos de momentos de segundo orden definidos anteriormente se concluye que el mismo tiene
dimensiones [longitud]4 , por ejemplo cm4 . Por otro lado, dividiendo el momento de inercia por
la superficie en la cual es calculado, se obtiene como resultado una magnitud cuya unidad corresıa
pondiente es [longitud]2 , es decir, es una magnitud que podr´ interpretarsecomo el cuadrado
de una longitud que se denomina radio de giro de la superficie respecto del eje considerado, y
esta definido por
i2 =

3.1.2

I
Ω

o bien,

i=

I
Ω

(3.6)

Momento de segundo orden de superficie respecto a ejes paralelos. Teorema
de Steiner.

Sea la superficie de la figura 3.3 referida a un par de ejes ortogonales x, y de origen O, y
consideremos otro par de...