Momento de Inercia

MOMENTO DE INERCIA DE UNA SUPERFICIE
En mecánica el momento de inercia de una superficie con respecto a un eje es un concepto importante. Ahora vamos a explicar el cálculo de inercia siguiendo lospasos para establecer una integral doble:
Primer paso: Se trazan las curvas que limitan la región en cuestión.
Segundo Paso: En un punto cualquiera P (x, y) dentro del recinto se construye elelemento de área triangular x y.
Tercer Paso: Se determina la función f(x, y) por la cual x y debe multiplicarse para dar la magnitud buscada asociada al elemento de área rectangular.
Cuarto Paso: Laintegral que se busca es  extendida a la región dada. El orden de integración y los extremos de las integrales se determinan como para calcular el área misma.
Para el rectángulo elemental PQ enP(x, y) en el momento de inercia con respecto a OX se define como  y con respecto al eje de las  es . Entonces, si  e  son los momentos de inercia correspondientes a lasuperficie entera, tenemos (E)  , .
Los radios de giro  y  vienen dados por la fórmula (F)  ,  .
En (E) las funciones cuyas integrales se extienden a la superficie son  y , respectivamente.
Las fórmulas (E) se simplifican para una superficie, “bajo una curva”; es decir, una superficie limitada por una curva, el eje de las x y dos ordenadas. Así obtenemos:
 ,.
En estas ecuaciones  es la ordenada de un punto de la curva, y su valor, en función de , se obtiene de la ecuación de la curva y se sustituye en el integrando.
Las fórmulas para los momentosen inercia  se escriben en la forma:  , en donde  es el área y  es el radio de giro. Esta forma se obtiene despejando de (F) los valores de  e .
Nota: Si la unidad lineal es 1cm, el momento de inercia tiene las dimensiones de cm4.

MOMENTO POLAR DE INERCIA
El momento de inercia del rectángulo PQ con respecto al origen O es el producto del área por OP2, es decir, ...