Momento de Inercia










Momento de Inercia
En un Sistema de partículas
Para definir este concepto analicemos un cuerpo rígido el cual en un instante “t” está rotando alrededor de un eje con velocidad angular ω. Cada partícula que forma el cuerpo tiene una cierta energía cinética.
Tomamos una partícula de masa m situada a una distancia “r” del eje de rotación, la energía cinética de esta partículaes siendo v la rapidez lineal de la partícula. Recordando que , entonces la energía cinética de la partícula es .
Como el rígido puede considerarse formado por n partículas de masa , las cuales están a una distancia del eje respectivamente, entonces la energía cinética total del rígido, considerado como un sistema de partículas es:

Haciendo la sumatoria de los se tiene que la Energíacinética de rotación es:

O bien:

Al término entre paréntesis se le ha designado con la letra I; se le llama momento de inercia con respecto del eje de rotación considerado. De este análisis podemos entonces decir que el momento de inercia de una partícula de masa m respecto de un punto O viene dado por:

Y el sistema de partículas viene dado por:










“La palabra “momento” implicaque depende de la distribución espacial de la masa del cuerpo; nada tiene que ver con el tiempo. Para un cuerpo con un eje de rotación dado y una masa total dada, cuanto mayor sea la distancia del eje a las partículas que constituyen el cuerpo, mayor será el momento de inercia. En un cuerpo rígido, las distancias son constantes y el momento de inercia es independiente de cómo gira el cuerpo entorno al eje dado. La unidad del momento de inercia en el SI es el kilogramo-metro cuadrado .”
(ZEMANSKY, Mark et al. Física Universitaria, PEARSON. 11va edición, página 340)
Ejemplo: La molécula de oxígeno
Considere el oxígeno molecular diatómico , que gira en el plano alrededor del que pasa por su centro, perpendicular a su longitud. La masa de cada átomo de oxígeno es , y a temperaturaambiente, la separación promedio entre los dos átomos de oxígeno es (los átomos son considerados como masas puntuales).
a).- Calcule el momento de inercia de la molécula alrededor del .
Solución.- Puesto que la distancia de cada átomo desde el es , el momento de inercia alrededor del es:



b).- Si la velocidad angular de la molécula alrededor del es , ¿Cuál es su energía cinéticarotacional?
Solución:




Ejemplo: Cuatro masas en rotación
Cuatro masas puntuales se fijan a las esquinas de un marco de masa despreciable que se ubica en el plano .

a).- Si la rotación del sistema ocurre alrededor de con una velocidad angular , encuentre el momento de inercia en torno del y la energía cinética rotacional alrededor de este eje.
Solución: Primero observemos que las dos masasque están sobre el no contribuyen a (esto es para estas masas en torno del ).

Por tanto, la energía rotacional alrededor del es:

El hecho de que las masas no aparezcan en este resultado tiene sentido, puesto que no tienen movimiento alrededor del eje de rotación elegido; por tanto, no tienen energía cinética.
b).- Suponga que el sistema gira en el en torno de un eje que pasa por O(el ). Calcule el momento de inercia en torno del y la energía rotacional alrededor de este eje.
Solución:


Al comparar los resultados para a) y b), concluimos que el momento de inercia y, en consecuencia, la energía rotacional asociada a una velocidad angular dada depende del eje de rotación. En b), expresamos el resultado para incluir todas las masas y las distancias porque las cuatro masasestán en movimiento en el caso de la rotación en el . Además, el hecho de que la energía rotacional en a) sea más pequeña que en b) indica que se requeriría menos esfuerzo (trabajo) para poner el sistema en rotación alrededor del que entorno del .
(SERWAY, Raymond. Física Tomo I, McGRAW-HILL, 4ta edición, página 286)

Sistema continuo
En el análisis anterior se consideró al rígido formado...