Momento De Inercia


INTRODUCCIÓN
En la anterior clase pudimos ver todo acerca de la definición y lo principal sobre momento de inercia, la cual es fundamental para poder tener bien en claro que es un momento de inercia ya que eso nos permitirá desarrollar algunos ejercicios que se nos plantee en clases. Los puntos tocados anteriormente fueron Momentos de 2º orden de un área. Radio de Giro. Momento Polar deInercia, Momentos de Inercia de Áreas por integración y Momentos de Inercia de Áreas compuestas. Teorema de Steiner, donde se comprendió algunos principios básicos de momentos de inercia. Ahora se abordara otros puntos importantes sobre este tema las cuales son: Productos de Inercia, teoremas fundamentales, en este punto se hablara de teoremas importantes para el adecuado entendimiento y desarrollo dealgunos ejercicios de aplicación, Momentos y productos de inercia respecto a ejes inclinados para este punto se pondrá en práctica algunas fórmulas para hallar el momento de inercia con respecto a estos ejes, Ejes principales y momentos principales de Inercia en esta parte se verá sobre cuáles son esos ejes principales y también sus principales momentos de inercia por medio de algunas fórmulas oalgunos principios básicos y por ultimo tenemos el Círculo de Mohr que es método que sirve para encontrar los ejes que pasan por un punto.











MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA
La integral (9.12)
que se obtiene al multiplicar a cada elemento dA de un área A por sus coordenadas x y y, e integrando sobre toda el área (figura 9.14), es conocida como elproducto de inercia del área A respecto a los ejes x y y. A diferencia de los momentos de inercia Ix e Iy, el producto de inercia lxy puede ser positivo, negativo o cero.

Cuando uno o ambos ejes x y y son ejes de simetría del área A, el producto de inercia Ixy es igual a cero. Por ejemplo, considérese la sección en forma de canal que muestra la figura 9.15. Puesto que esta sección es simétrica respectoal eje x, con cada elemento dA de coordenadas x y y se puede asociar un elemento dA' de coordenadas x y -y . Desde luego, las contribuciones a Ixy de cualquier par de elementos seleccionados de esta forma se cancela y, por tanto, la integral (9.12) se reduce a cero.

Para los productos de inercia, es posible derivar un teorema de ejes paralelos similar al establecido en la sección 9.6 paramomentos de inercia. Considere un área A y un sistema de coordenadas rectangulares x y y (figura 9.16). A través del centroide C del área, cuyas coordenadas son x y y ,se dibujan dos ejes centroidales x' y y’ que son paralelos, respectivamente, a los ejes x y y. Representando con x y y las coordenadas de un elemento de área dA con respecto a los ejes originales y con x' y y' las coordenadas del mismoelemento con respecto a los ejes centroidales, se escribe x = x' + x y y = y' + y. Al sustituir las relaciones anteriores en la ecuación (9.12), se obtiene la siguiente expresión para el producto de inercia Ixy:

La primera integral representa el producto de inercia Ixy del área A con respecto a los ejes centroidales x' y y'. Las dos integrales siguientes representan los primeros momentos del áreacon respecto a los ejes centroidales; dichas integrales se reducen a cero puesto que el centroide C está localizado sobre esos ejes. La última integral es igual al área total A. Por tanto, se tiene que


MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA RESPECTO A EJES INCLINADOS.
En el diseño estructural y mecánico, a veces es necesario calcular los momentos y el producto de inercia Iu Iv e Iuv para un área conrespecto a un conjunto de ejes inclinados u y v cuando se conocen los valores de O, Ix’, Iy e Ixy" Para hacer esto usaremos las ecuaciones de transformación que relacionan las coordenadas x, y y u, v. A partir de la figura 10-17, estas ecuaciones son

Usando estas ecuaciones, los momentos y el producto de inercia de dA con respecto a los ejes u y v son

Desarrollando cada...