Momentos de empotramiento en vigas

PROGRAMACIÓN APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL

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Capítulo VII

Vigas Continuas
Vigas cuyos Nodos no se Desplazan
Se denominan continuas las vigas soportadas por más de dos apoyos que no poseen articulaciones intermedias. Las vigas continuas poseen vínculos superabundantes a los que corresponden incógnitas estáticamente indeterminadas. Las vigas continuas resultan más económicas que unaserie de tramos independientes porque, en igualdad de luces y cargas, se encuentran sujetas a momentos flectores menores. También presentan mayor rigidez a la acción de cargas dinámicas. Por el contrario, como todas las vigas hiperestáticas, éstas son sensibles a la cedencia de los apoyos, que puede alterar de forma peligrosa las condiciones estáticas. El estudio de una viga continua, y de cualquierestructura compleja en general, se facilita y se puede realizar con métodos sencillos, y a veces de forma inmediata, cuando los nodos, pudiendo rotar, no sufren desplazamientos. Si se considera una viga de nodos rígidos y sin desplazamiento, excluidas las deformaciones elásticas, es posible calcularla aplicando el Método de Cross.

Método de Cross para Vigas Continuas
El Método de Cross es elmás simple y rápido para calcular vigas hiperestáticas de nodos rígidos que no se desplazan. El método es iterativo por aproximaciones sucesivas, permite obtener un buen grado de exactitud y converge rápidamente.

Francisco D’Amico, UNIMET

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El proceso se puede realizar de la siguiente manera: conocidas las cargas actuantes sobre cada tramo, secalculan primero los momentos de empotramiento perfecto M en sus extremos, con el signo según la convención (positivo en sentido horario). Posteriormente se calcula el momento no equilibrado ? M en cada nodo, se cambia de signo y se reparte en partes proporcionales a las rigideces de cada tramo concurrente al nodo. Se obtienen así para cada extremo opuesto de los nodos los momentos derepartición, que a su vez provocan momentos de transmisión en los extremos opuestos a ellos, el momento de transmisión es la mitad del momento de repartición. Con los momentos de transmisión se calculan de nuevo los momentos no equilibrados en cada nodo, obteniendo nuevos momentos de repartición, se continúa el proceso anterior hasta que el momento no equilibrado en cada nodo tienda a cero. Finalizado elproceso iterativo, para obtener el momento definitivo en cada apoyo se suman los momentos de empotramiento, los de repartición y los de transmisión correspondientes a cada lado del apoyo.

Variables que Intervienen en el Método de Cross
A continuación definiremos algunas fórmulas que intervienen en el proceso y que no cambian al variar las condiciones de carga en los tramos. Antes de enunciar lasprincipales fórmulas utilizadas en el método, definiremos la convención de signo a utilizar: son positivas las fuerzas que actúan hacia arriba y positivos los momentos que actúan en sentido horario. Los valores de M son positivos a la derecha del tramo y negativos a la izquierda del tramo.

+

Rigidez del Tramo, k
Sea un tramo de viga de longitud L, de sección transversal con inercia I,compuesto de un material con módulo de elasticidad E, se denomina rigidez k del tramo al cociente:
k? EI L

Sin embargo en el Método de Cross aplicado a vigas continuas, la rigidez varía dependiendo del tramo para el cual se calcula, según el siguiente criterio: Para tramos con un extremo continuo: k ?
3EI 4L

Francisco D’Amico, UNIMET

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Paratramos con un extremo continuo y otro en voladizo: k ? Para tramos con ambos extremos continuos: k ?
EI L

3EI 4L

Factor de Distribución, FD
Para apoyos entre un tramo y un voladizo: FD = 0 del lado del voladizo; FD = 1 del lado del tramo Para apoyos entre dos tramos:

FDizquierda ?
FDiderecha ?

k izquierda k izquierda ? k derecha
kiderecha ? 1 ? FD izquierda k izquierda ? k...