Momentos de inercia

MOMENTOS DE INERCIA MASICOS

CARACTERÍSTICAS DE INERCIA DE UN SÓLIDO

Considerando la mecánica como la ciencia que se ocupa del estudio de la evolución de los sistemas materiales y las causas que la producen, podemos preguntarnos sobre los aspectos o parámetros del sólido que tienen transcendencia en el ámbito de la mecánica. Si centramos el objeto de nuestro estudio en el sólido rígido,entonces su evolución viene determinada por la cinemática de los sistemas indeformables. Además, adelantando un resultado de Dinámica, las causas que producen la evolución del sólido rígido pueden ser encajadas en los sistemas de vectores deslizantes. Queda, por tanto, el estudio de la relación entre el movimiento del sólido y sus causas. En esta relación intervienen las propias características decada sólido y, de éstas, sólo los momentos de órdenes cero, uno y dos. Dicho de otra forma, la única información necesaria para relacionar los sistemas de fuerzas que actúan sobre un sólido con la evolución posterior de éste son los momentos de orden hasta el segundo de dicho sólido. En [1] se analiza ampliamente esta relación y en estas notas se presenta y desarrolla el tratamiento de estosmomentos, que es lo que se conoce tradicionalmente como Geometría de masas.

MOMENTOS DE INERCIA

Los momentos estáticos tratados en la sección anterior se conocen también como momentos de primer orden, ya que las distancias de los puntos másicos a los elementos respecto a los que están definidos intervienen con exponente uno (el momento de orden cero sería la masa total de la distribución). Comohemos dicho en la introducción, nos interesan los momentos de hasta el segundo orden. Estos se denominan momentos de inercia e intervienen en casi todas las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido. Al igual que los momentos estáticos, se definen respecto a puntos, rectas y planos y, a diferencia de aquéllos, también se definen respecto a pares de planos. Comencemos por los momentos de inerciarespecto a puntos o momentos de inercia centrales.

Dado un punto O, se define el momento de inercia respecto a O, y se denotará IO, a:
IO = | 
 | | nor | (OP) dV |
|
El momento de inercia será siempre, por su definición, mayor que cero (excepto en el caso de una masa puntual respecto al punto en que esté concentrada, en cuyo caso sería nulo. Puede relacionarse el momento de inerciarespecto a un punto O cualquiera con el momento de inercia respecto al centro de masas C.
IO = | 
 | | nor | (OC+CP) dV = | 
 | [ | nor | (OC)+2 OC·CP + | nor | (CP)] dV = |
|

= | nor | (OC) | 
 | dV + IC + 2 OC ·MC |
|
Pero como MC = 0, se tiene
IO = M | nor | (OC) + IC |
|
lo que indica que el momento de inercia central es mínimo en el centro de masasy se incrementa respecto a éste en el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre C y O.

Los momentos de inercia más útiles son los que se definen respecto a rectas. Sean una recta , un vector unitario paralelo a ella u y uno de sus puntos O. Se define el momento de inercia I respecto a  como
I = | 
 | | nor | (OP ×u) dV |
|
La definición anterior es correcta,pues no depende ni del sentido asignado a u (neutralizado por la norma), ni de la elección de O, ya que cualquier otro punto definiría un vector OP = u + OP que multiplicado vectorialmente por u daría el mismo resultado.

El momento de inercia será siempre positivo, excepto si la distribución de masas está contenida en la recta , en cuyo caso es nulo.
Se puede relacionar el momento deinercia de una distribución cualquiera de masas respecto a una recta  con el correspondiente respecto a una recta Cparalela a  que contenga al centro de masas.
I = | 
 | | nor | [(OC+CP)×u] dV = |
|

= | 
 | [ | nor | (OC×u)+2 (OC×u)·(CP ×u)+ | nor | (CP×u)] dV = |
|

= | nor | (OC×u) | 
 | dV + IC + 2 (OC×u) ·(MC ×u) |
|
Pero como MC = 0, se tiene...