Momentos de inercia

Momento angular de una partícula

Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv
L=rmv
 
Momento angular de un sólido rígido
Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que esproporcional al radio de la circunferencia que describen vi= ·ri

En la figura, se muestra el vector momento angular Li de una partícula de masa mi cuya posición está dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi.
El módulo del vector momento angular vale Li=rimivi
Su proyección sobre el eje de rotación Z es
Liz=miviricos(90- i), es decir,

El momento angularde todas las partículas del sólido es

La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es

El término entre paréntesis se denomina momento de inercia


En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice queel eje de rotación es un eje principal de inercia.
Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación
L=I
El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El momento de inercia esmínimo cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa.
Cuerpo
Momento de inercia Ic
Varilla delgada de longitud L

Disco y cilindro de radioR

Esfera de radio R

Aro de radio R
mR2
 
Teorema de Steiner
El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos elmomento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.
El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es

Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.

En la figura, tenemos que


El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos laposición xC del centro de masa desde el centro de masa.
Ejemplo

Sea una varilla de masa M y longitud L, que tiene dos esferas de masa m y radio rsimétricamente dispuestas a una distancia d del eje de rotación que es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma.


Un péndulo consiste en una varilla de masa M y longitud L, y una lenteja de forma cilíndrica de masa m y radio r. El péndulopuede oscilar alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su extremo O

 
Energía cinética de rotación
Las partículas del sólido describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi= ·Ri . La energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas. Estasuma se puede expresar de forma simple en términos del momento de inercia y la velocidad angular de rotación

 Ecuación de la dinámica de rotación
Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa lafuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.
Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la...