Momentos de inercia

VIII. MOMENTOS DE INERCIA
Recordemos que el momento estático es la suma de los productos de cada elemento de un
cuerpo por su distancia a un eje. El momento de inercia, es cambio es la suma de los productos de
cada elemento de un cuerpo por el cuadrado de su distancia a un eje. Como la distancia está
elevada al cuadrado, los momentos de inercia también se llaman momentos de segundo orden o,simplemente, segundos momentos. Por esa misma razón, los momentos de inercia son escalares
siempre positivos. Hay momentos de inercia del peso, de la masa, del volumen de los cuerpos, y
de áreas y de líneas. A diferencia de los estáticos, que son cantidades meramente matemáticas,
los momentos de inercia de las masas miden la oposición de los cuerpos a girar alrededor de un
eje, y suconocimiento resulta imprescindible para estudiar el movimiento de los cuerpos.
Así como el momento estático de la masa de un cuerpo respecto al eje de la equis se puede
obtener mediante la expresión
en donde y es la distancia del centro de masa al eje de las equis, el momento de inercia de la masa
de un cuerpo respecto al mismo eje se puede expresar como
en donde k es cierta distancia el eje de laequis, que recibe el nombre de radio de giro. Tal
distancia corresponde al lugar en el que habría que concentrar toda la masa del cuerpo para que
conservara su momento de inercia.
Consideremos el menhir de la figura y una partícula cualquiera de masa diferencial dm, cuyas distancias a los ejes cartesianos son rx, ry y rz, Los
z
momentos de inercia de esa partícula serán

y, por tanto, losmomentos de inercia de la masa del
menhir serán

rz dm
z ry

rx

x

y

y
x

Como se puede apreciar, empleando el teorema de Pitágoras,
este resulta-do en la expresión del momento de inercia, tendremos

, Sustituyendo

Momentos de inercia

Estas dos últimas expresiones corresponden a lo que podríamos llamar momentos de inercia
con respecto a los planos xz y yz, respectivamente:Las expresiones que acabamos de escribir serán muy útiles en el cálculo de los momentos de
inercia de los cuerpos.

Momentos de inercia de la masa de algunos cuerpos
Para nuestro curso básico resulta necesario conocer los momentos de inercia de la masa de
algunos cuerpos de forma común, como el cilindro, la esfera, el cono y el prisma rectangular.

Momento de inercia de la masa de uncilindro de pared delgada
El cálculo del momento de inercia de la masa m
de un cilindro de radio R de pared delgada (es decir,
de un cilindro cuyos radios interior y exterior son
prácticamente iguales) con respecto a su eje de figura
resulta muy sencillo, pues cualquiera de sus partes se
encuentra a un radio de distancia de dicho eje. Por
tanto, su momento de inercia será

R
x
h

Momentode inercia de la masa de un cilindro macizo
Para calcular el momento de inercia de la masa de un cilindro macizo y homogéneo de masa
m, radio R y altura h, respecto a su eje de figura, comenzaremos determinando su masa en
función de su volumen:
La cantidad que hemos designado con
es la
masa específica (o masa por unidad de volumen),
también llamada densidad. Por tanto

R
r

Ahoravamos a descomponer al cuerpo en
infinidad de cilindros de pared delgada concéntricos.
Cada uno de ellos tendrá un radio r y un espesor dr,
como se muestra en la figura. El volumen de dicho
elemento diferencial será

dr

x

h

que corresponde lo largo (h), lo ancho (2 R) y el espesor (dr) del elemento. O sea que su
masa es
121

Momentos de inercia

por tanto, su momento de inerciaserá

y el de todo el cilindro

Como lo contenido en el paréntesis es la masa del cilindro, podemos escribir

Ejemplo. Calcule el momento de inercia de un
cilindro hueco, cuyos radios exterior e interior son R2
y R1, respectivamente. Utilice el resultado obtenido
arriba para evitar cualquier tipo de procedimiento de
integración.

R2
R1
x
h

Al momento de inercia de un cilindro...