momentos estaticos

VIII. MOMENTOS ESTÁTICOS
El momento estático es la suma de los productos de cada elemento de un cuerpo por su
distancia a un eje. Hay momentos estáticos del peso, de la masa, del volumen de los cuerpos, y de
áreas y de líneas. Se llaman momentos por su semejanza con los momentos de las fuerzas, que se
obtienen mediante el producto de una fuerza por la distancia de su línea de acción a uncierto eje
y tienden a lograr que el cuerpo gire. Pero los momento estáticos no producen ninguna tendencia
al giro, por eso son estáticos. Se llaman también momentos de primer orden.
Aunque se trata de un concepto meramente matemático, sin ninguna referencia física, nos
servirán para obtener lugares reales, como el centro de gravedad y el centro de masa de un
cuerpo, así como los centroides devolumen, de área y de línea.

Peso de un cuerpo
La fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo se llama peso. Aunque la hemos venido
considerando como una fuerza concentrada, realmente no lo es, el peso de un costal de manzanas,
por ejemplo, es la suma de los pesos de cada manzana.
Pensemos en un menhir o en una gran piedra cualquiera (1). Su peso es la suma de los pesos
de cada una de suspartículas. Todos esos pesos constituyen un sistema de fuerzas paralelas. Para
determinar su resultante emplearemos las dos ecuaciones siguientes:

de donde

que, para este caso particular, se convierten en

Esta última integral es el momento estático del peso con respecto al eje de las yes, que se
suele simbolizar así:

Momentos estáticos

Y el momento estático del peso respecto al ejede las equis es

Puesto que los cuerpos tienen tres dimensiones, es más frecuente trabajar con los momentos
estáticos del peso de un cuerpo, no respecto a ejes, sino respecto a planos; o sea

Como las coordenadas x, y y z pueden ser positivas, negativas o nulas, los momentos
estáticos también pueden resultar positivos, negativos o nulos.
Los momentos estáticos de un cuerpo, respecto a unplano de simetría son nulos, puesto que el
momento de un lado del plano es igual al del otro lado, pero de sentido contrario. Dicho de otra
manera, el centro de gravedad de un cuerpo se encuentra en el plano de simetría, si el cuerpo lo
tiene. Y se hallará también en el eje o en el punto de simetría, si existe.

Centro de gravedad
Con los cocientes de los anteriores momentos estáticos entre elpeso del cuerpo se obtienen
tres coordenadas de un punto contenido siempre es decir, independientemente de la colocación
del cuerpo en la línea de acción del peso.

Ese punto se llama centro de gravedad:
El centro de gravedad, es pues, la posición del peso de un cuerpo.

Centro de masa
Así como hablamos de momentos estáticos del peso, podemos pensar en los momentos
estáticos de la masade un cuerpo:

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Momentos estáticos

Y el punto cuyas coordenadas sean

será el centro de la masa del cuerpo. Fácilmente se puede observar que, como el peso es igual al
producto de la masa por la aceleración de la gravedad, es decir, P = mg, también dP = g dm. Y si
el valor de la gravedad es el mismo para todas las partículas del cuerpo, el centro de masa y el
centro de gravedadcoinciden.
Si un cuerpo es homogéneo, es decir, que en cualquiera de sus partes la razón de la masa al
volumen es igual, la posición de los centros de gravedad y de masa dependen sólo del volumen.
El punto cuyas coordenadas son los cocientes de los momentos estáticos del volumen entre el
volumen, (/ x dV/V, y dV/V, z dV/V) es el centroide del volumen y coincide con los dos
centros mencionados.Centroides de algunos volúmenes
Puesto que los momentos estáticos con respecto a planos, en particular los de volumen, son la
suma de los productos de cada parte por su distancia al plano, el de un cuerpo compuesto se
obtiene sumando los momentos estáticos de cada parte. Si dividimos el resultado de esa suma
entre el volumen de todo el cuerpo obtenemos la distancia del plano al centroide....